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問題：

某實(shí)驗(yàn)室的一個流量計(jì)外送檢定，檢定結(jié)果為：10m3/h的點(diǎn)，示值誤差：-0.4%；2m3/h的點(diǎn)，示值誤差：0%，實(shí)際測試過程中流量為4m3/h，那么應(yīng)該報(bào)告的流量結(jié)果為多少？

我們提供一種比較實(shí)用的方法：拉格朗日插值法，可以有效解決上述問題。

1、線性插值

插值是函數(shù)逼近的一種最簡單的重要方法，在數(shù)據(jù)處理中有著廣泛的應(yīng)用，利用插值法可以通過函數(shù)在有限個點(diǎn)上的取值情況估算出在其它點(diǎn)上的函數(shù)值。

2、二次插值和n次插值

一般地，在我們的實(shí)際工作中，檢定證書（校準(zhǔn)報(bào)告）都會提供多個點(diǎn)的誤差情況，此時，就需要用到二次拉格朗日插值多項(xiàng)式（3個點(diǎn)）或者n次拉格朗日插值多項(xiàng)式（更多個點(diǎn)）。而且，由于二次以上的函數(shù)圖形表現(xiàn)為曲線，更光滑，更美觀，也更能逼近真實(shí)的f（x）。

根據(jù)一次和二次插值多項(xiàng)式，我們推廣二次拉格朗日插值的表達(dá)式，可得n次拉格朗日插值多項(xiàng)式：

3、分段線性插值

3.1、高次插值多項(xiàng)式的陷阱

從圖1、圖2來看，似乎插值節(jié)點(diǎn)越多，誤差越小，函數(shù)逼近越好。然而，事實(shí)并非如此。

根據(jù)n次拉格朗日插值多項(xiàng)式，分別取前4個，前5個和全部6個校準(zhǔn)點(diǎn)的數(shù)據(jù)繪制校準(zhǔn)曲線，圖形分別如圖3、圖4、圖5所示。

可以從圖5發(fā)現(xiàn)，在流量位于4.5m3/h左右時，曲線產(chǎn)生了大幅的振蕩，對應(yīng)的修正因子顯然不能采信。如果進(jìn)行多次類似試驗(yàn)，那么我們能總結(jié)這么一個規(guī)律：當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)大于5，且數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出非線性時，節(jié)點(diǎn)加密不但不會逼近真實(shí)函數(shù)f（x），反而會導(dǎo)致了誤差的增大，這一現(xiàn)象被稱為Ronge現(xiàn)象。Ronge現(xiàn)象否定了利用高次插值多項(xiàng)式提高逼近精度的想法，事實(shí)上，一般使用n次拉格朗日插值多項(xiàng)式時，其節(jié)點(diǎn)不大于5個。

3.2分段線性插值

由圖3我們可知，當(dāng)遇到校準(zhǔn)點(diǎn)大于5個的檢定證書（校準(zhǔn)報(bào)告）時，我們就不能采用高次插值多項(xiàng)式的方法去繪制校準(zhǔn)曲線。怎么才能對付這個問題？驀然回首，利用最簡單的線性插值法就可以有效地解決這個困難。將每兩個相鄰的校準(zhǔn)點(diǎn)作線性插值，然后將這些線段相連，即為分段線性插值函數(shù)的圖形描述。其公式可以描述為：

3.3、 Hermite 插值和三次樣條插值

分段線性插值在解決多校準(zhǔn)點(diǎn)的情況下，具有簡單快速的優(yōu)點(diǎn)。但是，其圖形表現(xiàn)為折線而非曲線，從函數(shù)逼近上看并非完美。就這個角度而言，Hermite 插值法和三次樣條插值法更具有優(yōu)勢。Hermite 插值是利用未知函數(shù) f（x）在插值節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值來構(gòu)造插值多項(xiàng)式的，而三次樣條插值為了具有更好的光滑性，還要用到二階導(dǎo)數(shù)。

例如，表 3 所給出的測試數(shù)據(jù)用 Hermite 插值法和三次樣條插值法，在 Matlab 上繪制出的圖形分別如圖 7、圖 8 所示。

一般情況，Hermite 插值和三次樣條插值的圖形更光滑，逼近效果更好。但由于計(jì)算過程過于繁瑣，一般情況下，還是用分段線性插值法更具有可操作性，它所提供的修正因子已具有足夠的準(zhǔn)確度和有效性。