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圖1 石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)

 

在固體物理學(xué)中，固體的能帶結(jié)構(gòu)（又稱電子能帶結(jié)構(gòu)）描述了禁止或允許電子所帶有的能量，這是周期性晶格中的量子動(dòng)力學(xué)電子波衍射引起的。材料的能帶結(jié)構(gòu)決定了多種特性，特別是它的電子學(xué)和光學(xué)性質(zhì)。今天，小編帶您細(xì)數(shù)能帶結(jié)構(gòu)的測(cè)試方法：

方法一：角分辨光電子能譜（ARPES）

 

圖2  (a) ARPES 實(shí)驗(yàn)幾何示意圖和(b)光發(fā)射過程示意圖

 

光子入射到樣品，樣品內(nèi)電子吸收光子發(fā)生躍遷，當(dāng)能量大于表面勢(shì)壘(Φ，材料功函數(shù)，即樣品阻止價(jià)電子逃逸的表面勢(shì)壘，通常金屬功函數(shù)約為4-5eV)， 電子就存在一定的幾率逃逸出樣品表面，逃逸能量的最大值為hν –Φ（其中hν為入射光子能量）。入射光子（通常來源于氣體放電燈、同步輻射或者激光）入射到樣品，電子被激發(fā)，逃逸出來的電子被一個(gè)具有有限接收角的能量分析儀收集。在這一過程中，光電子的動(dòng)能，材料的功函數(shù)以及電子的束縛能之和等于入射電子的能量。

 

角分辨光電子譜通過測(cè)量不同初射角度的光電子的動(dòng)能，就可以得到電子在固體中平行于樣品表面的動(dòng)量分量。將得到的能量和動(dòng)量對(duì)應(yīng)起來，就可以得到材料中電子的色散關(guān)系。同時(shí)，APERES也可以得到能態(tài)密度曲線和動(dòng)量密度曲線，并直接給出固體的費(fèi)米面。

方法二：正交平面波方法

圖3  Muffin-Tin勢(shì)示意圖

 

正交平面波方法是利用一種簡(jiǎn)單的方法把價(jià)帶和導(dǎo)帶電子態(tài)用平面波展開。展開波函數(shù)的基為一組與本征能量波函數(shù)正交的平面波。所以，該方法叫做正交平面波方法（OPW）。該方法克服了描述原子核附近急劇變化的波函數(shù)的難題。用類似的方法可組合歸一化的OPW函數(shù)描述布里淵區(qū)對(duì)稱點(diǎn)的平面波。形成晶體空間群不可約表示的基函數(shù)。

方法三：綴加平面波（APW）方法

 

 

圖4 平面波

 

綴加平面波（APW）方法是利用一種所謂Muffin-Tin勢(shì)，它由離子位置中心處球?qū)ΨQ的勢(shì)的部分加上間隙部分常數(shù)勢(shì)部分組成，在球?qū)ΨQ勢(shì)里一個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)薛定諤方程可以在球極坐標(biāo)解出。綴加平面波等同于在球形勢(shì)對(duì)稱區(qū)域以外的平面波，它是球簡(jiǎn)諧解與球?qū)ΨQ勢(shì)中徑向函數(shù)的乘積的線性組合。選擇適合的參數(shù)來符合可接受的波函數(shù)的需要，在球?qū)ΨQ勢(shì)的極限時(shí)，兩個(gè)區(qū)域的波函數(shù)必須在數(shù)值上和它們的對(duì)數(shù)微分上匹配，該方法最初由Slater(1937)提出，后來計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，可以方便地應(yīng)用到計(jì)算中去。APW函數(shù)的數(shù)目依賴于晶體結(jié)構(gòu)以及所涉及能帶的類型。通常s和p帶比較快收斂，而d帶較慢收斂。

方法四：格林函數(shù)方法

 

圖5 拓?fù)浣^緣體能帶結(jié)構(gòu)

 

格林函數(shù)方法，也叫KKR方法（Korringa，Kohn 和Rostoker）。該方法也是假定Muttin-Tin勢(shì)再在球?qū)ΨQ勢(shì)區(qū)域以外帶一個(gè)常數(shù)勢(shì)。波函數(shù)設(shè)想為被勢(shì)本身所散射。所以Korringa(1947)把波函數(shù)分成進(jìn)入和出來兩個(gè)分量。Kohn和Rostoker(1954)引入一種積分方程的方法。該積分寫為對(duì)所有的Muffin-Tin球的積分。它實(shí)際上非常類似于APW方法。KKR方法中必須對(duì)所有倒格矢求和，于是可以得到來自不同的球諧振函數(shù)的貢獻(xiàn)的久期方程。

方法五：贗勢(shì)法

贗勢(shì)，就是把離子實(shí)的內(nèi)部勢(shì)能用假想的勢(shì)能取代真實(shí)的勢(shì)能，但在求解波動(dòng)方程時(shí)，不改變能量本征值和離子實(shí)之間區(qū)域的波函數(shù)。由贗勢(shì)求出的波函數(shù)叫贗波函數(shù)，在離子實(shí)之間的區(qū)域真實(shí)的勢(shì)和贗勢(shì)給出同樣的波函數(shù)。

 

贗勢(shì)法是用一個(gè)有效勢(shì)來代替真實(shí)勢(shì)。對(duì)于一些晶體來說，計(jì)算Muffin-Tin勢(shì)的分布特別繁雜。一種取代的方法是原子勢(shì)用一個(gè)弱勢(shì)來代替，對(duì)導(dǎo)帶電子來說，它具有KKR方法情況中同樣的離散振幅。

方法六：K·P方法

對(duì)于窄禁帶半導(dǎo)體來說，采用k·p微擾方法很有效。這一方法假定晶體在k=0的全部狀態(tài)Un（0，r）和能量En（0）都已知，然后根據(jù)晶體對(duì)稱性采用微擾方法求k=0附近的En（k）的表達(dá)式及波函數(shù)，在k空間特殊點(diǎn)的能帶結(jié)構(gòu)可以通過實(shí)驗(yàn)求得的禁帶寬度、電子、空穴有效質(zhì)量等能帶參數(shù)來確定，于是從k·p微擾方法就可確定k空間其他點(diǎn)的能帶結(jié)構(gòu)。由于半導(dǎo)體禁帶寬度窄，導(dǎo)帶價(jià)帶電子相互作用強(qiáng)，電子自旋軌道相互作用強(qiáng)，用微擾方法可以很好的處理這些作用。因此，k·p微擾對(duì)于窄禁帶半導(dǎo)體尤為重要。

方法七：回旋共振

回旋共振就是當(dāng)半導(dǎo)體中的載流子在一定的恒定磁場(chǎng)和高頻電場(chǎng)同時(shí)作用下會(huì)發(fā)生抗磁共振的現(xiàn)象。將一塊半導(dǎo)體置于均勻恒定的磁場(chǎng)中，設(shè)磁場(chǎng)的感應(yīng)強(qiáng)度為B，若半導(dǎo)體中電子初速度為v，v與B間夾角為Θ，則電子受到的磁場(chǎng)力f為

f=(-e)(v × B)

 

 

圖7 電子在恒定磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

 

回旋共振實(shí)驗(yàn)中，除了在半導(dǎo)體樣品上加一恒定磁場(chǎng)外，還要再施加一個(gè)交變電磁場(chǎng)，并讓電分量E垂直于磁場(chǎng)，則電子一方面繞磁場(chǎng)做螺旋運(yùn)動(dòng)；另一方面又受到交變磁場(chǎng)作用，當(dāng)電磁場(chǎng)的頻率與電子的回旋頻率相同時(shí)，它們將不斷被交變電場(chǎng)加速，從而獲得能量，引起共振吸收。

 

通過測(cè)定共振吸收時(shí)的電磁場(chǎng)的頻率和磁感應(yīng)強(qiáng)度B，就可以求得有效質(zhì)量。通過改變磁場(chǎng)方向，測(cè)量共振吸收峰的個(gè)數(shù)和位置變化，還可以確定能帶極值在布里淵區(qū)中的分布，以及能帶面形狀。

 

小編能力有限，錯(cuò)誤和不足的地方還請(qǐng)讀者多多指正。