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多體系統(tǒng)動力學(xué)的核心問題是建模和求解，其系統(tǒng)研究開始于20世紀(jì)60年代。起始于20世紀(jì)70年代的基于多體系統(tǒng)動力學(xué)的機械系統(tǒng)動力學(xué)分析與仿真技術(shù)，隨著計算機技術(shù)，以及計算方法的不斷進(jìn)步，到了20世紀(jì)90年代，在國內(nèi)外已經(jīng)成熟并成功地應(yīng)用于工業(yè)界，成為當(dāng)代進(jìn)行機械系統(tǒng)設(shè)計不可或缺的有力工具之一。

多體系統(tǒng)是指由多個物體通過運動副連接的負(fù)載機械系統(tǒng)。多體系統(tǒng)動力學(xué)的根本目的是應(yīng)用計算機技術(shù)進(jìn)行負(fù)載機械系統(tǒng)的動力學(xué)分析與仿真。它是在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的新學(xué)科分支，在經(jīng)典剛體系統(tǒng)動力學(xué)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷了多剛體系統(tǒng)動力學(xué)和計算多體系統(tǒng)動力學(xué)兩個發(fā)展階段，特別是在前者已經(jīng)趨于成熟。

多體動力學(xué)是以多體系統(tǒng)動力學(xué)、計算方法，以及軟件工程相互交叉為主要特點，面向工程實際問題新學(xué)科。計算多體動力學(xué)是指利用計算機數(shù)值手段來研究負(fù)載機械系統(tǒng)靜力學(xué)分析、運動學(xué)分析、動力學(xué)分析，以及控制系統(tǒng)分析的理論和方法。計算多體動力學(xué)的產(chǎn)生極大地改變了傳統(tǒng)機構(gòu)動力學(xué)分析面貌，對于原先不能夠求解或者求解困難的大型復(fù)雜問題，可以借助計算機順利完成。

在20世紀(jì)80年代初，Haug等人提出了“計算多體動力學(xué)”的概念，認(rèn)為其主要任務(wù)如下：

• 建立復(fù)雜機械系統(tǒng)運動學(xué)和動力學(xué)程式化的數(shù)學(xué)模型，開發(fā)實現(xiàn)這個數(shù)學(xué)模型的軟件系統(tǒng)，再輸入少量描述系統(tǒng)特征的數(shù)據(jù)、由計算機自動建立系統(tǒng)運動學(xué)與動力學(xué)方程。

   

• 建立穩(wěn)定的、有效的數(shù)值計算方法，分析彈性變形對靜態(tài)偏差、穩(wěn)定性、動態(tài)響應(yīng)的影響，通過仿真由計算機自動產(chǎn)生系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)。

   

• 將仿真結(jié)果通過計算機終端以方便直觀的形式表達(dá)出來。實現(xiàn)有效數(shù)據(jù)后處理，采用動畫顯示、圖標(biāo)或者其他方式提供數(shù)據(jù)后處理。

對于由多個剛體組成的復(fù)雜系統(tǒng)，理論上可以采用經(jīng)典力學(xué)的方法，即以牛頓—歐拉方程為代表的矢量力學(xué)方法和以拉格朗日方程為代表的分析力學(xué)方法。這種方法對于單剛體或者少數(shù)幾個剛體組成的系統(tǒng)是可行的，但隨著剛體數(shù)目的增加，方程復(fù)雜度成倍增長，尋求其解析解往往是不可能的。由于計算機數(shù)值計算方法的出現(xiàn)，使得面向具體問題的程序數(shù)值方法成為求解復(fù)雜問題的一條可行道路，即針對具體的多剛體問題列出其數(shù)學(xué)方程，再編制數(shù)值計算程序進(jìn)行求解。對于每一個具體的問題都要編制相應(yīng)的程序進(jìn)行求解，雖然可以得到合理的結(jié)果，但是這個過程長期的重復(fù)是讓人不可忍受的，于是尋求一種適合計算機操作的程式化的建模和求解方法變得迫切需要了。20世紀(jì)60年代初期，在航天領(lǐng)域和機械領(lǐng)域，分別開展了對于多剛體系統(tǒng)動力學(xué)的研究，并形成了不同派別的研究方法。如羅伯森·維騰堡（Robeson·Wittenburg）方法、凱恩（Kane）方法、旋量方法和變分方法等。

對于多剛體系統(tǒng)，從20世紀(jì)60~80年代，在航天和機械兩個領(lǐng)域形成了兩類不同的數(shù)學(xué)建模方法，分為稱為拉格朗日方法和笛卡爾方法；20世紀(jì)90年代，在笛卡爾方法的基礎(chǔ)上又形成了完全笛卡爾方法，這幾種建模方法的主要區(qū)別在于對剛體位形描述的不同。

航天領(lǐng)域形成的拉格朗日方法，是一種相對坐標(biāo)方法，以羅伯森·維騰堡（Robeson·Wittenburg）方法為代表，是以系統(tǒng)每個鉸的廣義坐標(biāo)（又稱拉格朗日坐標(biāo)）來描述，廣義坐標(biāo)通常為連接剛體之間的相對轉(zhuǎn)角或位移。這樣，開環(huán)系統(tǒng)的位置完全可由所有鉸的拉格朗日坐標(biāo)陣所確定。其動力學(xué)方程的形式為拉格朗日坐標(biāo)陣的二階微分方程組，即

這種形式首先在解決拓?fù)錇闃涞暮教炱鲉栴}時推出。其優(yōu)點是方程個數(shù)最少，樹系統(tǒng)的坐標(biāo)數(shù)等于系統(tǒng)自由度，而且動力學(xué)方程易轉(zhuǎn)化為常微分方程組（ODEs-Ordinary Differential Equations）。但方程顯嚴(yán)重的非線性，為了使方程具有程式化與通用性，在矩陣與中常常包含描述系統(tǒng)拓?fù)涞男畔?，其形式相?dāng)復(fù)雜，而且在選擇廣義坐標(biāo)時需人為干預(yù)，不利于計算機自動建模。不過目前對于多體系統(tǒng)動力學(xué)研究比較深入，現(xiàn)在又幾種應(yīng)用軟件采用拉格朗日的方法也取得了較好的效果。

對于非樹系統(tǒng)，拉格朗日方程要采用切割鉸的方法以消除閉環(huán)，引入了額外的約束，使得產(chǎn)生的動力學(xué)方程為微分代數(shù)方程，不能直接采用常微分方程算法去求解，需要專門的求解技術(shù)。

機械領(lǐng)域形成的笛卡爾方法是絕對坐標(biāo)方法，即Chace和Haug提出的方法，以系統(tǒng)中每一個物體為單元，建立固結(jié)在剛體上的坐標(biāo)系，剛體的位置相對于一個公共參考基進(jìn)行定義，其位置坐標(biāo)（又稱廣義坐標(biāo)）統(tǒng)一為剛體坐標(biāo)系基點的笛卡爾坐標(biāo)與坐標(biāo)系的方位坐標(biāo)，方位坐標(biāo)可以選用歐拉角或歐拉參數(shù)。單個物體位置坐標(biāo)系統(tǒng)在二維系統(tǒng)中為3個，在三維坐標(biāo)系統(tǒng)中為6個（如果采用歐拉參數(shù)為7個）。對于由N個剛體組成的系統(tǒng)，位置坐標(biāo)陣中的坐標(biāo)個數(shù)為3N（二維）、6N或7N（三維），對于鉸約束的存在，這些位置坐標(biāo)不獨立。系統(tǒng)動力學(xué)模型的一般形式可表示為

這類數(shù)學(xué)模型就是微分—代數(shù)方程組（DAE-Differential Algebraic Equations），又稱為歐拉—拉格朗日方程組（Euler—Lagrange Equations），其方程個數(shù)較多，但系數(shù)矩陣顯稀疏狀，適用于計算機自動建立統(tǒng)一的模型進(jìn)行處理。笛卡爾方法對于多剛體系統(tǒng)處理不區(qū)分開環(huán)與閉環(huán)（即樹系統(tǒng)與非樹系統(tǒng)），統(tǒng)一處理。目前國際上最著名的兩個動力學(xué)分析商業(yè)軟件ADAMS和DADS都是采用這種建模方法。

完全笛卡爾坐標(biāo)法，是由Gracia和Bayo于1994年提出，是另一種形式的絕對坐標(biāo)方法。這種方法的特點是避免使用一般笛卡爾方法中的歐拉角或歐拉參數(shù)，而是利用與剛體固結(jié)的若干參考點與參考矢量的笛卡爾坐標(biāo)描述剛體空間位置與姿態(tài)。參考點選擇在鉸中心，參考矢量沿鉸的轉(zhuǎn)軸或移動軸，通?？捎啥鄠€剛體共享而使未知變量減少。完全笛卡爾坐標(biāo)所形成的動力學(xué)方程與一般笛卡爾方法本質(zhì)相等，只是其雅可比矩陣為坐標(biāo)線性函數(shù)，便于計算。