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本文簡單介紹了信號分析基礎(chǔ)理論知識之頻譜分析。

1. 從時域到頻域

實際的波形可視為由若干正弦波所合成，每一正弦分量各有其一定的頻率和幅值。

(a) 波形；(b) 由三個正弦波組成；(c) 頻譜

2. 傅里葉變換

(1) FT （連續(xù)傅里葉變換）

 

正變換：

逆變換：

其中，ω=2πf，f(t)為時域數(shù)據(jù)序列，F(ω)為頻域的譜函數(shù)序列。

 

(2) DFT（離散傅里葉變換）

 

對N個樣點的數(shù)字化的時域波形進行數(shù)值積分計算，計算某一頻率點的幅值?？稍谟嬎銠C上進行，但計算量巨大。

 

(3) FFT（快速傅里葉變換）

 

離散變換的一種快速算法，計算速度快，適合工程應(yīng)用，但具有如下限制：

 

• 參與計算的數(shù)據(jù)點數(shù)（FFT分析點數(shù)）必須為2的冪次方，即2ⁿ。

   

• 頻率分辨率問題，頻率間隔Δf。

3. 頻譜泄露誤差

 

• 泄漏產(chǎn)生：當實際信號的頻率處于f(i)和f(i+1)之間時，則會產(chǎn)生頻率泄漏現(xiàn)象，導(dǎo)致誤差。

   

• 頻率誤差：FFT頻率反映的頻率為(i-1)Δf Hz或者iΔf Hz，最大頻率誤差為Δf/2。

   

• 幅值誤差：譜峰的幅值減小，泄漏到附近的譜峰上，最大幅值誤差為36.3%。

   

• 整周期采樣：信號的頻率正好處于f(i)的位置上，即信號頻率等于Δf 的整數(shù)倍，則不會產(chǎn)生泄漏。

 

產(chǎn)生機理（邊緣截斷）：

常用校正方法：

• 加窗處理：如hanning、平頂窗等，僅能校正幅值，不能校正頻率；

   

• 頻率計校正：可以對若干個單個譜峰進行校正，特點為快速實時，既能校正幅值，又能校正頻率；

   

• 平滑處理：能有效校正最大譜峰處的幅值，不能校正頻率。

4. 加窗和平滑

加窗可消除或減輕信號截斷和周期化帶來的不連續(xù)問題。平滑是將頻譜任何一點的附近若干點進行相加，將泄露到兩邊的能量加回來。

(a) 整周期；(b) 嚴重泄露；(c) 加漢寧窗；(d) 平滑

5. 窗函數(shù)基本特性

相當于濾波器。

 

6. 常用窗

(a) 指數(shù)窗形式；(b) hanning窗形式；(c)hamming窗形式

(d) 平頂窗形式；(e) Kaiser窗形式；(f) 余弦矩形窗形式

 

7. 平均和重疊

平均：

對較長的信號進行平均計算，用以消除隨機噪聲帶來的誤差。

 

一般有如下平均方式：

 

• 線性平均：全程分析過程中的每次FFT結(jié)果進行線性平均；

   

• 峰值保持：全程分析過程中，每條譜線分別保持其最大值，常用于掃頻信號的分析；

   

• 最大值保持：全程分析過程中，搜索能量最大的一幅波形（總有效值最大），對其進行頻譜分析，作為最后的結(jié)果；

   

• 指數(shù)平均：全程分析過程中的每次FFT結(jié)果進行指數(shù)平均，越后面分析的結(jié)果所占權(quán)重越大，最后一次占1/2，倒數(shù)第二次占1/4，依此類推。

 

重疊：

對于加窗處理，可充分利用其被窗函數(shù)衰減掉的部分的信號。

 

例如，從20Hz到160Hz的正弦勻速掃頻信號，長度8K點，F(xiàn)FT點數(shù)1K點，hanning窗。

掃頻信號無重疊加窗

 

(a) Hanning，無重疊；(b) Hanning，90%重疊