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制定系統(tǒng)誤差分配

要測定剛體對于另一物體的相對位置，需要明確六個自由度。更復(fù)雜的是，每個自由度的誤差是許多部件共同作用的結(jié)果。事實(shí)上，考慮到一個機(jī)床內(nèi)所有相互關(guān)聯(lián)的元件，需要掌握誤差數(shù)量會非常驚人。因此，掌握和分配這些誤差的允許值最好的辦法就是誤差分配。誤差分配和其他分配一樣，是指將資源分配在機(jī)械各部件上。目的是通過分配誤差，使得特定部件實(shí)現(xiàn)誤差分配的能力不會超過應(yīng)有的限度。因此，最大限度地減少工作量和簡化工作，滿足誤差分配的要求，就成為在各部件之間分配和再分配允許誤差的主要目的。誤差分配可以看作是控制和指導(dǎo)整個設(shè)計過程的工程管理工具，也是最終設(shè)計結(jié)果的預(yù)算工具。

根據(jù)定義機(jī)械各部件和連接部分運(yùn)動規(guī)則，以及組合不同類型誤差的組合規(guī)則，就可以制定出誤差分配。確定誤差分配的第一步是為系統(tǒng)建立一個由一系列齊次變換矩陣組成的運(yùn)動學(xué)模型。接下來要全面分析系統(tǒng)可能產(chǎn)生的每種誤差，并使用HTM,模型幫助確定這些誤差對刀尖相對工件位置精確度的影響。然后得到一組包括所有終點(diǎn)誤差分量、誤差源以及刀尖處誤差放大因子的列表。最后，應(yīng)用不同的組合規(guī)則就可以得到機(jī)器總誤差上限和下限的預(yù)測值。

通過誤差分配檢查工具端或工件位置的設(shè)計精度和規(guī)定精度時，必須首先確定機(jī)器的敏感方向。在車床上車削半徑為r的圓形工件時，刀具沿著零件表面的切向運(yùn)動誤差為?，在工件半徑方向上產(chǎn)生的誤差大小為（?^2）/r，該誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于?。如果刀具靜止、工件轉(zhuǎn)動，誤差敏感方向固定；如果刀具旋轉(zhuǎn)、工件固定，誤差敏感方向跟著旋轉(zhuǎn)。沒有必要花費(fèi)太大經(jīng)歷去減少那些無足輕重的誤差。但通常誤差分配應(yīng)涵蓋所有誤差，以避免意外地忽視一個敏感誤差，當(dāng)最終列表形成后，再忽略敏感方向的誤差。

機(jī)械的齊次變換矩陣模型

為了確定一個部件的誤差對刀具或工件位置的影響，需要首先明確兩者的空間關(guān)系。要表示三維空間中一個剛體在個體坐標(biāo)系中的位置，需要一個4×4的矩陣。這個矩陣從剛體坐標(biāo)系（X_n，Y_n，Z_n）到參考坐標(biāo)系（X_R，Y_R，Z_R）的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，稱為齊次變換矩陣（HTM）。HTM的前三列為方向余弦（單位向量i,j,k），代表剛體X_n，Y_n，Z_n三軸相對于參考坐標(biāo)系的傾斜其其比例因子為0最后一列代表剛體坐標(biāo)系原點(diǎn)相對于參考坐標(biāo)系的位置P_s為一個標(biāo)度因數(shù)，通常統(tǒng)一設(shè)置，避免混淆。上標(biāo)代表稱你希望顯示結(jié)果的參考坐標(biāo)系，下標(biāo)代表被轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)系。

由此可得一個點(diǎn)在坐標(biāo)系n中相對參考坐標(biāo)系R的等值最標(biāo)為

例如，當(dāng)X₁Y₁Z₁坐標(biāo)系沿X軸轉(zhuǎn)換x，將X₁Y₁Z₁坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成XYZ參考坐標(biāo)系的HTM為

當(dāng)X₁Y₁Z₁坐標(biāo)系沿Y軸轉(zhuǎn)換y，將X₁Y₁Z₁坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成XYZ坐標(biāo)系的HTM為：

當(dāng)X₁Y₁Z₁坐標(biāo)系沿Z軸轉(zhuǎn)換z，將X₁Y₁Z₁坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成XYZ坐標(biāo)系的HTM為：

當(dāng)X₁Y₁Z₁坐標(biāo)系相對X軸轉(zhuǎn)換?_x，將X₁Y₁Z₁坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成XYZ坐標(biāo)系的HTM為：

當(dāng)X₁Y₁Z₁坐標(biāo)系相對Y軸轉(zhuǎn)換?_y，將X₁Y₁Z₁坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成XYZ坐標(biāo)系的HTM為：

當(dāng)X₁Y₁Z₁坐標(biāo)系相對Z軸轉(zhuǎn)換?_z，將X₁Y₁Z₁坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成XYZ坐標(biāo)系的HTM為：

對于同時組合了這些運(yùn)動的軸來說，可以將這些HTM連乘，得到一個HTM。對于較大的多維旋轉(zhuǎn)來說，需要特別注意，因?yàn)樾D(zhuǎn)的方向非常重要，你可以用一本書來試驗(yàn)，沿不同的軸將書旋轉(zhuǎn)90°，觀察在旋轉(zhuǎn)相同轉(zhuǎn)速后，哪些面朝上。機(jī)械結(jié)構(gòu)可以分解成一系列的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，描述每個軸和中間坐標(biāo)系相對位置，幫助建模，從末端開始一直到基軸坐標(biāo)系（n=0）。如果N個剛體被連接起來，已知相連的軸之間的HTM，那么，就參考坐標(biāo)系而言，末端的位置就是所有HTM相繼產(chǎn)生的結(jié)果

通常為零件建立剛體模型，很難確定零件的真正運(yùn)動軌跡，因此，當(dāng)系統(tǒng)中有多個接觸點(diǎn)時，評定HTM中的誤差項(xiàng)需格外小心。串行連接的機(jī)械需要定制的公式來說明各連接部位的相互關(guān)系。矩陣元可為數(shù)學(xué)函數(shù)，整體稱為機(jī)械的成形函數(shù)，這樣就產(chǎn)生了一個機(jī)械性能的閉型數(shù)學(xué)表示。雖然閉型方案對一些優(yōu)化研究來說十分有用，但是結(jié)構(gòu)復(fù)雜、軸數(shù)較多的機(jī)械來說，這種該方法通常不可取，建立的模型可能過于簡單。此處所講的HTM方法適用于任何數(shù)目的坐標(biāo)系。用數(shù)學(xué)計算機(jī)就能建立出描述誤差和運(yùn)動軌跡的數(shù)學(xué)函數(shù)。