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敏納(Miner)線性累積損傷假設(shè)是振動疲勞分析中最常用的累積損傷理論。設(shè)試驗件經(jīng)受m個常幅交變應(yīng)力的作用，幅值分別記為S₁,S₂,S₃,…,S_m；各應(yīng)力的實際循環(huán)次數(shù)分別為n₁,n₂,n₃,…,n_m； 則總累積損傷D為（式1）：

式中，n_i(i=1,2,......,m)為試驗件在常幅循環(huán)應(yīng)力S_i作用下達破壞時的循環(huán)次數(shù)。

敏納假設(shè)D=1時試驗件發(fā)生疲勞破壞，所以令D=1,式（1）就是敏納的病勞破壞準(zhǔn)則。實際上這是把應(yīng)力S_i每一循環(huán)造成的損傷一律取為I/N_i, 而忽略了各次應(yīng)力循環(huán)作用之前已有損傷歷史的影響，也沒有考慮多個應(yīng)力作用的相互次序及其他各種因素的影響，以致式（1）乃是個高度簡化的線性平均和式。

不難將式（1）寫成連續(xù)形式，假定有連續(xù)變幅應(yīng)力S=S (x)，設(shè)在應(yīng)力幅區(qū)間（S₁,S_m）的某一微元[ S-dS/2,S+dS/2]內(nèi)，平均應(yīng)力幅為S，平均作用次數(shù)為n (S)， 達破壞時的平均破壞循環(huán)次數(shù)為N (S)， 則對所有這類微元寫出損傷和式并令dS趨于零，即可得到（式2）：

盡管敏納假設(shè)非常粗糙，但鑒于疲勞壽命的巨大分散性，還沒有任何一種累積損傷理論能夠做出普遍適合的壽命預(yù)計，所以它仍能得到廣泛應(yīng)用。

應(yīng)力疲勞問題中的載荷壽命關(guān)系式即是相應(yīng)的S—N 曲線表達式。大部分疲勞試驗數(shù)據(jù)表明，這類曲線的有用部分(自10⁴次到10⁷次之間)大多可以用雙對數(shù)坐標(biāo)圖中的直線表示，即可表示為（式3）：

式中：

S—應(yīng)力幅值;
N—在應(yīng)力 S作用下達破壞時的循環(huán)次數(shù);

b—斜率參數(shù) (斜率為-1/b);
C—由試驗決定的常數(shù)(截距參數(shù))。

分析振動疲勞問題往往是求出振動應(yīng)力然后套用相應(yīng)的S—N曲線，但實際上對于特定的試驗件也完全可以通過試驗得出以振動激勵或響應(yīng)量表示的振動載荷壽命關(guān)系式，按基礎(chǔ)加速度激勵寫成（式4）：

式中：

 x^,,—基礎(chǔ)振動激勵x (t)的加速度幅值;

N—在 x^,,作用下達破壞的循環(huán)次數(shù);

K—斜率參數(shù);
C—相應(yīng)的試驗常數(shù)。

有的文獻中直接假定K=b,但是由于頻率的影響和實際系統(tǒng)帶有的非線性(如阻尼非線性)，  K并不等于b。

假定y (t) 是一個平穩(wěn)隨機過程，y=a是試驗件的破壞閾值，則在單位時間內(nèi)y以正斜率穿越量值a的期望次數(shù)(故障率) V_a⁺可以寫為（式5）：

式中：

 y^,=dy/dt —y的時間速率；
P(a, y^,)—  y =a時，y和 y^,的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

特別當(dāng)y (t) 是平均值為零的正態(tài)過程時則有（式6）：

式中，σ_y和σ_y,—y和y^,的均方根值；

exp[ ]一以e為底，以[ ]內(nèi)量為冪次的指數(shù)式。

便有（式7）：

再假定y(t)是窄帶過程，例如，是小阻尼單自由度系統(tǒng)在隨機激勵下的響應(yīng)過程，則這種窄帶隨機過程的平均頻率f­_0，即是單位時間內(nèi)y(t)以正斜率穿越y(tǒng)=0值得期望次數(shù)V₀⁺，它是（式8）：

式（7）變?yōu)椋ㄊ?）：

進一步假定a值足夠大，以致y (t)每一次以正斜率穿越a，都可以看成是一次獨立的偶發(fā)事件;則由這些穿越a的時刻t_k構(gòu)成的集合{t_k}，便可假定為服從泊松( Poisson)分布的隨機樣本集合。在此假設(shè)下可以證明，在0≤t≤T時間內(nèi)發(fā)生y (t)首次穿越a的概率將決定于T，且其概率密度函數(shù)為（式10）：

據(jù)此即可計算發(fā)生y首次正穿越a的平均時間E (T)為（式11）：

E(T)即是試驗件的期望壽命。

對于隨機振動，不妨假定為小阻尼單自由系統(tǒng)受到均值為零的正態(tài)隨機激勵，其響應(yīng)y(t)為窄帶正態(tài)過程，響應(yīng)峰值服從瑞利(Rayleigh)分布，即響應(yīng)峰值y_p的概率密度函數(shù)P(y_p)為（式12）：

式中：
y_p一響應(yīng)峰值，下標(biāo)P表示峰值;
σ_p一響應(yīng)瞬時值的均方根值。

假定破壞閾值為a，那么y_p超過a的次數(shù)與全部峰值次數(shù)之比即為下列概率值（式13）：

假定振動持續(xù)時間為t_R則總的響應(yīng)峰數(shù)目(只考慮一個方向的峰， 如正峰)為（式14）：

式(14)中f­₀即為上面規(guī)定的窄帶響應(yīng)過程的平均頻率，對于單自由度系統(tǒng)，它實際上等于該系統(tǒng)的無阻尼自然頻率(固有頻率)。于是在時間t_R內(nèi)響應(yīng)峰y_p超過閾值a的平均次數(shù)n_p^a 。為（式15）：

假定n_p^a 超過某一次數(shù)N_a時發(fā)生故障，則相應(yīng)的峰值破環(huán)準(zhǔn)則是（式16）：

或（式17）：

顯然，如果把t_R看成是一個時間變量，則當(dāng)上式取等號時有（式18）：

便是試驗件的期望壽命值。

將式（18）與式（11）相比較就可以看出，所謂一次通過問題，實際上是峰值破壞當(dāng)N_a=1時的特殊情況，所以這兩種破壞可以統(tǒng)一起來。 順便指出，這里給出的分析比上面對于一次通過問題的分析要簡單得多。

克讓德爾也提出過一種破壞模型，即響應(yīng)超過某一閾值后響應(yīng)瞬時值比例過大的破壞模型，下面說明它與峰值破壞模型也是一致的 。

假定y(t)表示上述單自由度系統(tǒng)在均值為零的寬帶隨機激勵下的響應(yīng)瞬時值，仍取閾值為a,克讓德爾假定響應(yīng)偶然穿越閾值并不構(gòu)成故障，只有當(dāng)y (t) >a 的時間與總振動持續(xù)時間之比超過某一定值ε以后才發(fā)生故障。

令P (y)為瞬時值y (t)的概率密度函數(shù)，則因y (t) 服從正態(tài)分布，故（式19）：

則y(t)超過閾值a的時間與全部瞬時值發(fā)生的總時間之比φ(a)即為（式20）：

并且有破壞準(zhǔn)則（式21）：

比較式（20） 與式（15）便可發(fā)現(xiàn)，對于一定的系統(tǒng)和一定的激勵，n_p^a和φ (a) 都只與a有關(guān)，并且都是參變量a的單值函數(shù)，所以可以消去參數(shù)a而得到 n_p^a和φ (a)的直接對應(yīng)關(guān)系，這樣，用一個量表示的破壞準(zhǔn)則也可以轉(zhuǎn)換為用另一個量(唯一的)加以表示。這就說明上面兩種破壞模型實質(zhì)上是一致的，只不過表示方法不同而已。