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1）法向

由分形理論基礎(chǔ)，經(jīng)量綱歸一后，得法向接觸剛度為：

（1）

2）切向

同法向，由分形理論基礎(chǔ)，經(jīng)量綱歸一后，得切向接觸剛度為：

式中，

1）法向

基于微接觸面截面面積的分布函數(shù)，對(duì)分形理論模型改進(jìn)并經(jīng)量綱歸一后，可得法向接觸剛度為：

(3)

式中：

2）切向

基于微接觸面截面面積的分布函數(shù)，對(duì)分形理論模型改進(jìn)并經(jīng)量綱歸一后，可得切向接觸剛度為：

(4)

在導(dǎo)軌結(jié)合面中，重力起主要作用，這使得導(dǎo)軌結(jié)合面的處理相對(duì)簡(jiǎn)單，考慮到各方向剛度間的耦合關(guān)系，對(duì)其剛度計(jì)算過(guò)程加以改進(jìn)，設(shè)每個(gè)接觸面都有三個(gè)方向的剛度分別為K_x、K_y、 K_z，法向剛度K_nx、K_ny、 K_nz，切向剛度K_τx、 K_τy、 K_τz，可建立如下模型：

依據(jù)上文建模方式，分別計(jì)算出導(dǎo)軌結(jié)合面的法、切向動(dòng)態(tài)參數(shù)，以此建立有限元仿真模型。通過(guò)搭建實(shí)驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)，優(yōu)選誤差最小的導(dǎo)軌結(jié)合面動(dòng)態(tài)參數(shù)計(jì)算方式。

如圖1所示，基座1模擬導(dǎo)軌滑塊，導(dǎo)軌結(jié)合面實(shí)驗(yàn)臺(tái)2模擬導(dǎo)軌。其中，基座與導(dǎo)軌結(jié)合面實(shí)驗(yàn)臺(tái)可實(shí)現(xiàn)前后兩方向上的水平移動(dòng)。為使得導(dǎo)軌結(jié)合面特征更加顯著，避免加工誤差對(duì)導(dǎo)軌安裝的影響及導(dǎo)軌與地面固定間結(jié)合面對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響， 實(shí)驗(yàn)臺(tái)設(shè)計(jì)時(shí)采用了導(dǎo)軌與基座一體式的倒T型結(jié)構(gòu)。

    以上述四種方案為依據(jù)進(jìn)行模態(tài)分析，各方案所得模態(tài)振型相同，差異僅表現(xiàn)在固有頻率中。由此，以一號(hào)方案為研究對(duì)象對(duì)其第一至第四階振型進(jìn)行研究，其對(duì)應(yīng)各階振型如圖2所示。

圖2  導(dǎo)軌結(jié)合面仿真模型有限元摸態(tài)分析前四階振型

第一階振型為兩側(cè)面上段左右彎曲；第二階兩側(cè)面兩節(jié)點(diǎn)反向彎曲；第三階兩側(cè)面兩節(jié)點(diǎn)同向彎曲；第四階兩側(cè)面各六節(jié)點(diǎn)反向彎曲。

以模型的基本外型為基礎(chǔ)，酌量測(cè)點(diǎn)分布密度及位置，進(jìn)行合理分割后，如圖3所示創(chuàng)建一個(gè)由60個(gè)點(diǎn)組成的點(diǎn)線面共存的測(cè)試分析模型，三個(gè)方向合計(jì)測(cè)點(diǎn)數(shù)量為80個(gè)。由預(yù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果及響應(yīng)曲線，選取8號(hào)測(cè)量點(diǎn)作為激振點(diǎn)。

導(dǎo)軌結(jié)合面模型摸態(tài)測(cè)試實(shí)驗(yàn)前四階振型結(jié)果如圖4所示。

由圖2與圖4的對(duì)比結(jié)果基本一致可證明實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有效性。依此，將四種方案中的計(jì)算數(shù)據(jù)代入仿真模型進(jìn)行分析后，將其結(jié)果與模態(tài)測(cè)試的固有頻率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果前四階固有頻率分別為153.91Hz、543.43Hz、889.85Hz、1028.3Hz；采用結(jié)合面綁定法仿真前四階固有頻率分別為178.81Hz、700.11Hz、1040.30Hz、1056.20Hz，其與實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的誤差分別為16.18%、28.83%、16.91%、2.71%；采用方案1進(jìn)行仿真前四階固有頻率分別為155.87Hz、604.75Hz、937.74Hz、970.74Hz，其與實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的誤差分別為1.27%、11.28%、5.38%、5.60%；采用方案2進(jìn)行仿真前四階固有頻率分別為155.87Hz、604.74Hz、937.74Hz、970.68Hz，其與實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的誤差分別為1.27%、11.28%、5.38%、5.60%；采用方案3進(jìn)行仿真前四階固有頻率分別為155.41Hz、604.32Hz、937.50Hz、950.05Hz，其與實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的誤差分別為0.98%、11.21%、5.35%、7.61%；采用方案5進(jìn)行仿真前四階固有頻率分別為155.41Hz、604.31Hz、937.47Hz、949.94Hz，其與實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的誤差分別為0.98%、11.20%、5.35%、7.62%。

為便于觀察，以圖表的方式比對(duì)各方案仿真與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的相對(duì)誤差大小，詳見(jiàn)圖5所示。

通過(guò)對(duì)比結(jié)果與圖5可見(jiàn)，相對(duì)誤差中，前四階固有頻率誤差最小的方案依次為：方案4和3、方案4和3、方案4和3、方案1和2、方案1和2、方案1和2。雖然前三階的誤差最小為方案4和3，但其與方案1和2的差距很小可以忽略。故最佳方案應(yīng)該在方案1和2之間選擇。再考慮到兩者切向結(jié)合面的剛度差值大小，根據(jù)實(shí)際的需求，剛度差過(guò)大會(huì)導(dǎo)致制造成本增加，在滿足設(shè)計(jì)要求時(shí)應(yīng)該選擇剛度差相對(duì)較小的方案。因此，方案2的仿真方式綜合相對(duì)誤差最小。即結(jié)合面法向剛度采用基于分形理論的法向動(dòng)態(tài)接觸剛度理論模型，切向剛度采用基于分形理論與域擴(kuò)展因子的切向動(dòng)態(tài)接觸剛度理論模型。故導(dǎo)軌結(jié)合面的最優(yōu)處理方案為方案2。