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01、位移和大位移

小位移在利用歐拉公式計算時，屬于線彈性計算，忽略了結(jié)構(gòu)的變形對結(jié)構(gòu)的影響，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣是不變的。而實際上，結(jié)構(gòu)的變形是可以影響荷載的作用效應(yīng)的，如下圖所示。

對桿件施加一定的荷載后，桿件會產(chǎn)生相應(yīng)的變形，在這個變形的基礎(chǔ)上，荷載會繼續(xù)作用在這個（剛度矩陣）已經(jīng)改變的桿件上，從而導(dǎo)致二階變形。

為了更好理解，用銀行利息的例子比喻一下這個現(xiàn)象。比如，拿一萬元錢作為荷載，施加到銀行這個桿件上，那么它會產(chǎn)生相應(yīng)的利息。之后在這個本金加利息的基礎(chǔ)上，再次對銀行施加荷載以獲取進(jìn)一步的利息。這就是大位移：幾何非線性的，考慮了結(jié)構(gòu)變形的影響。小位移和大位移的計算公式如下。

移應(yīng)變關(guān)系：

小位移：

大位移：

載荷位移關(guān)系：

線性：

非線性：

式中，KE為彈性剛度矩陣，跟彈性模型、截面特性有關(guān)；KG 為幾何剛度矩陣，與結(jié)構(gòu)形狀、外荷載有關(guān)。

02、幾何剛度

在大位移計算中，考慮了結(jié)構(gòu)變形對荷載作用效應(yīng)的影響，也就是結(jié)構(gòu)剛度的改變，于是引入幾何剛度的概念。

同樣用一個比喻來幫助大家理解幾何剛度的概念，就是拔河。

在大家的感性認(rèn)識中，繩子在張緊（受拉）狀態(tài)下的剛度是不是要比松弛（不受力）狀態(tài)下的剛度大呢？而實際上，繩子的彈性剛度是沒有改變的，所以隨著外力的改變，我們引入幾何剛度來描述這一現(xiàn)象。

03、計算原理

Midas的線性屈曲分析可計算包含桁架單元、梁單元、板單元、實體單元的結(jié)構(gòu)的臨界荷載系數(shù)和相應(yīng)的屈曲模態(tài)，結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程如下。

式中，[K ] 為結(jié)構(gòu)的彈性剛度矩陣，[KG ] 為結(jié)構(gòu)的幾何剛度矩陣，{U } 為結(jié)構(gòu)的位移，{P } 為作用在結(jié)構(gòu)上的荷載。

結(jié)構(gòu)的幾何剛度矩陣由各單元的幾何剛度矩陣構(gòu)成，各單元的幾何剛度矩陣與構(gòu)件的內(nèi)力相關(guān)。

式中，為各構(gòu)件的幾何剛度矩陣，F(xiàn) 為構(gòu)件內(nèi)力。

將幾何剛度矩陣用臨界荷載系數(shù)與使用初始荷載計算的幾何剛度矩陣的乘積表示，如下：

式中，α 為臨界荷載系數(shù)，[KG ] 為使用失穩(wěn)分析所用的初始荷載計算得幾何剛度矩陣。

上述平衡方程失穩(wěn)的條件是存在奇異解，即等效剛度矩陣的行列式的值為零。

非穩(wěn)定的平衡狀態(tài)：

失穩(wěn)狀態(tài)：

穩(wěn)定狀態(tài)：

即線性屈曲分析就是解下式的特征值，屈曲分析中的特征值就是臨界荷載系數(shù)。

式中，λi 為特征值（臨界荷載系數(shù)）。

所謂臨界荷載，就是初始荷載乘以臨界荷載系數(shù)的荷載值，表示結(jié)構(gòu)作用臨界荷載時結(jié)構(gòu)會發(fā)生屈曲（失穩(wěn)）。結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時常伴隨大位移變形和材料屈服，所以屈曲分析常要求考慮幾何非線性線或材料非線性。