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一般而言，工程實(shí)際中的振動系統(tǒng)都是連續(xù)實(shí)體，其質(zhì)量與剛度連續(xù)分布，理論上具有無限多個自由度，嚴(yán)格來講需要用連續(xù)模型才能加以描述，但是連續(xù)體的振動分析涉及偏微分方程理論，求解也十分困難，而且大多偏微分方程不存在解析解。同時，大量的復(fù)雜振動系統(tǒng)無法簡化為單自由度系統(tǒng)，而是需要簡化為多自由度系統(tǒng)才能反映實(shí)際問題的力學(xué)本質(zhì)。由此，工程實(shí)踐中的許多連續(xù)彈性體，通常是采用適當(dāng)?shù)姆椒▽⑵浜喕癁橛邢薅鄠€自由度的模型來分析。

 

01、多自由度系統(tǒng)模型的建立

 

一個簡單的方法是將連續(xù)系統(tǒng)分割為有限多個集中質(zhì)量，它們之間通過彈性元件和阻尼元件相連接，從而建立起集中參數(shù)的多自由度“質(zhì)-阻-彈”模型。這一模型稱為集中參數(shù)系統(tǒng) (lumped parametersystem) 或集中質(zhì)量系統(tǒng)。每個集中質(zhì)量的運(yùn)動可用線性坐標(biāo)來描述，描述模型中全部集中質(zhì)量運(yùn)動所需的最少獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目，稱為系統(tǒng)的自由度數(shù)。這些獨(dú)立坐標(biāo)也稱為廣義坐標(biāo)，廣義坐標(biāo)的數(shù)量等于系統(tǒng)的自由度數(shù)目。常把具有兩個和兩個以上自由度的系統(tǒng)稱為多自由度系統(tǒng)，多自由度系統(tǒng)模型的分析僅涉及常微分方程組，其求解相對于連續(xù)模型要簡單很多。因此，為了簡化分析，經(jīng)常將連續(xù)體簡化為多自由度系統(tǒng)。需要指出的是，一個振動系統(tǒng)，如果其振動幅度沒有限制，則振動方程中的廣義坐標(biāo)及其對時間的微商（廣義速度、廣義加速度）一般以非線性形式存在；但如果系統(tǒng)振動的幅度很小，以至于振動方程中只需保留廣義坐標(biāo)及其時間微商的一階項就足夠精確，則可以用線性微分方程描述該系統(tǒng)。

圖1 簡化的多自由度系統(tǒng)

圖2 分離mi 與其作用力圖

多自由系統(tǒng)是需要多個獨(dú)立坐標(biāo)來描述其運(yùn)動的振動系統(tǒng)。多自由度振動系統(tǒng)與單自由度振動系統(tǒng)，既有聯(lián)系又有區(qū)別。單自由度是振動系統(tǒng)的特例，其理論是分析多自由度振動的基礎(chǔ)，單自由系統(tǒng)的基本概念和分析方法，會在多自由度系統(tǒng)中得到繼續(xù)使用或推廣；多自由度系統(tǒng)振動方程在形式上與單自由度的也一致，所不同的是將單自由度方程中的實(shí)系數(shù)變量變換為矩陣。由此，與單自由度相比，多自由度系統(tǒng)要復(fù)雜一些，特別是自由度數(shù)加大時，對系統(tǒng)的振動分析將變得非常繁雜。為便于多自由度系統(tǒng)的振動分析，需要應(yīng)用線性代數(shù)和矩陣?yán)碚摗?/span>

式中，M、C、K 分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

多自由度系統(tǒng)中“質(zhì)-阻-彈”元件的簡化原則與單自由度相同，盡量將質(zhì)量集中、變形小的部分簡化為集中質(zhì)量并略去其剛度，將變形大、質(zhì)量小的部分簡化為彈性元件并略去其質(zhì)量。在實(shí)際簡化中，遇到比較復(fù)雜的情況，可以根據(jù)工程經(jīng)驗進(jìn)行簡化處理。缺少工程經(jīng)驗時，應(yīng)按照簡化前后動能相等的原則來簡化集中質(zhì)量；按照勢能相等的原則來簡化集中剛度；在阻尼不是很大的情況下，可以利用能量等效原理來對非線性阻尼進(jìn)行線性化處理。自由度數(shù)目的多少，取決于研究對象的具體情況和精度要求，一般來說，自由度越多分析精度越高，分析也越復(fù)雜煩瑣，在滿足精度的前提下，應(yīng)盡量減少自由度的數(shù)目。

 

02、多自由度振動系統(tǒng)的分析

 

多自由度系統(tǒng)與單自由度系統(tǒng)相比，其分析不僅計算量大，分析方法也要有相應(yīng)的改變。單自由度系統(tǒng)只有一個固有頻率，而n 自由系統(tǒng)有n 個固有頻率。當(dāng)系統(tǒng)以任意一個固有頻率做自由振動時，系統(tǒng)各點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值構(gòu)成一特定的、不隨時間變化的比例關(guān)系，稱為模態(tài)。模態(tài)分析是多自由度系統(tǒng)振動分析的基本手段，其思想是將相互耦合的多自由度運(yùn)動方程變換為多個獨(dú)立的自由度系統(tǒng)運(yùn)動方程，然后應(yīng)用單自由度系統(tǒng)的求解方法進(jìn)行求解。模態(tài)分析首先識別系統(tǒng)自由振動的基本特征，然后應(yīng)用這些特征對運(yùn)動微分方程進(jìn)行變換，得到一組獨(dú)立的單自由運(yùn)動方程。多自由度系統(tǒng)振動分析通常采用矩陣方法。系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)分別對應(yīng)矩陣的特征值和特征向量。

 

對于n 自由度振動系統(tǒng)，在無阻尼和外力作用下的自由振動方程一般形式為：

在系統(tǒng)自由振動中，假設(shè)所有的質(zhì)量均作簡諧運(yùn)動，則方程解的形式為

式中，ωni、φi 分別為第i 階振型的固有頻率和相角；Xi 為第i 階振型的諸位移的列陣；A(i) 為第i 階振型中各點(diǎn)的位移最大值或振幅向量。

 

Xi 和A(i) 可表示為

將下式代入n 自由度振動系統(tǒng)，在無阻尼和外力作用下的自由振動方程

得如下代數(shù)方程

 

令

稱H (i) 為特征矩陣。

 

對于振動系統(tǒng)，振幅不全部為零，因而必有

上式稱為系統(tǒng)的特征方程，其一般形式為

展開此行列式得最高階為 (ω²ni )n 的代數(shù)多項式。由此代數(shù)多項式可解出不相等的ω²n1, ω²n2, ···, ω²nn，共n 個根，稱此根為特征根或特征值，開方后即得固有頻率ωni 值。自由度數(shù)低的可用因式分解法求解，否則必須用數(shù)值法求解。

 

如果M 是正定的（即系統(tǒng)的動能除全部速度都為零外，總是大于零的），K 是正定的或半正定的，特征值ω²ni 全部是正實(shí)根，特殊情況下，其中有零根或重根。將這n 個固有頻率由小到大按次序排列，分別稱為一階固有頻率、二階固有頻率、···、n 階固有頻率，即

有的半正定系統(tǒng)可能不止一個零值固有頻率，說明系統(tǒng)具有不止一個獨(dú)立的剛體運(yùn)動，未加任何約束的帶有若干個集中質(zhì)量的梁，計算平面彎曲振動時，就出現(xiàn)兩個零值固有頻率，即系統(tǒng)在平面內(nèi)具有平移的剛體運(yùn)動及轉(zhuǎn)動的剛體運(yùn)動。

 

03、特征值和特征向量

 

設(shè)A 是n 階方陣，如果數(shù)λ 和n 維非零列向量x 使關(guān)系式Ax=λx 成立，那么數(shù)λ 稱為矩陣A 特征值，非零向量x 稱為A 的對應(yīng)于特征值λ 的特征向量。式Ax=λx 也可寫成 (A-λE )X=0。若λ 為實(shí)特征值時，矩陣對某一個向量或某些向量只發(fā)生伸縮變換，不對這些向量產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)效果，那么這些向量就是矩陣的特征值，伸縮的比例就是特征值；如果伸縮的比例值為負(fù)值，原向量的方向改變?yōu)榉聪颍蛄咳匀粸檫@個矩陣的特征向量。當(dāng)λ 為復(fù)數(shù)時，則會使特征向量在復(fù)平面上進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，但在實(shí)軸上仍然只是進(jìn)行伸縮變換。特征向量是個線性不變量，在實(shí)特征值的作用下只改變長度，不改變方向，或者說是與自身共線的向量。機(jī)械振動和電振動有頻譜，振動的某個頻率具有某個幅度，那么矩陣也有矩陣的譜，矩陣的譜就是矩陣特征值的概念，是矩陣的固有特性，所有的特征值形成了矩陣的一個頻譜，每個特征值是矩陣的一個“諧振頻點(diǎn)”。特征值是幾乎任何一個動力系統(tǒng)的最重要的特征。

 

04、固有頻率與振型

 

當(dāng)系統(tǒng)按其中某一固有頻率作自由振動時，稱為主振動。主振動是一種簡諧振動。系統(tǒng)作主振動時，任何瞬時各點(diǎn)位移之比具有一定的相對比值，即整個系統(tǒng)具有確定的振動形態(tài)，稱為主振型（模態(tài)）。主振型和固有頻率一樣，只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，而與初始條件無關(guān)。主振型是多自由度系統(tǒng)以及彈性體振動的重要特性。系統(tǒng)對簡諧激振的響應(yīng)是系統(tǒng)固有頻率與激振頻率相同的簡諧振動。振幅與系統(tǒng)固有頻率和激振頻率的比值有關(guān)。當(dāng)激振頻率接近于系統(tǒng)的任意固有頻率時，就發(fā)生共振，共振時的振型就是與固有頻率相對應(yīng)的主振型。系統(tǒng)作與激振力同頻率的簡諧振動，其振幅不僅決定于激振力的幅值 [F ]，還與系統(tǒng)的固有頻率和激振頻率有很大關(guān)系。正交性是模態(tài)的一個重要特性，振動分析的許多基本概念、方法及高效算法是以此為基礎(chǔ)的。N 階自由度系統(tǒng)有n 個固有頻率及n 組主振型A(i)，可以出現(xiàn)n 個頻率不同的共振現(xiàn)象。在少數(shù)的幾個最低模式中，其中振幅一般比較大，而高階頻率所對應(yīng)的模式中振幅都較小。二自由度系統(tǒng)在任意初始條件下的響應(yīng)都是兩個主振動的疊加，只有在特殊的初始條件下，系統(tǒng)才按某一個固有頻率作主振動。在一般情況下，二自由度系統(tǒng)的自由振動是兩個不同頻率主振動的合成，合成的結(jié)果不一定是簡諧振動。

 

頻率分析就是計算這些共振頻率及它們對應(yīng)的振動模式，計算共振頻率及它們對應(yīng)的振動模式，就是頻率分析的所有內(nèi)容，基本頻率即最低的共振頻率。自然頻率的值與結(jié)構(gòu)體在特定模式下所需要的能量級別成正比，因此，在基本頻率下結(jié)構(gòu)體振動所需的能量相比其他所有更高的自然頻率而言是最小的。

 

如果系統(tǒng)具有一定的阻尼且激振頻率接近于系統(tǒng)的固有頻率時，則阻尼起著非常顯著的抑制共振振幅的作用。比例阻尼是指阻尼矩陣與質(zhì)量矩陣M 或剛度矩陣K 成比例，或者正比于二者的線性組合。

 

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