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機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)參數(shù)主要是指系統(tǒng)的固有頻率、阻尼比和振型等固有特性。實(shí)際上一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)模型都是多自由度的，所以也具有多個(gè)固有頻率，對(duì)應(yīng)的在頻響曲線上會(huì)出現(xiàn)多個(gè)“共振峰”。不同的激振方式和不同的測(cè)點(diǎn)，都不會(huì)改變這些固有特性。由機(jī)械振動(dòng)理論知道，對(duì)于多自由度線性系統(tǒng)，利用正交矩陣（振型向量）變換，可以將其變?yōu)槟B(tài)坐標(biāo)下相互獨(dú)立的一組單自由度來(lái)處理，而在原物理坐標(biāo)下的多自由度系統(tǒng)任一測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)，則可表示為模態(tài)坐標(biāo)下各單自由度系統(tǒng)響應(yīng)的疊加。對(duì)于小阻尼系統(tǒng)，在某一個(gè)固有頻率附近與其對(duì)應(yīng)的振動(dòng)響應(yīng)占疊加和的主要成分。以下主要討論單自由度振動(dòng)的參數(shù)估計(jì)，以及用于參數(shù)估計(jì)的一種方法——機(jī)械導(dǎo)納方法與應(yīng)用。它是一種理論分析與試驗(yàn)相結(jié)合的動(dòng)態(tài)分析方法。

 

順便提及，表征這些固有特性的參數(shù)（系統(tǒng)的各階固有頻率、阻尼比及振型等）又稱為模態(tài)參數(shù)，為獲取這些參數(shù)所采取的方法也叫模態(tài)分析技術(shù)。

 

機(jī)械導(dǎo)納測(cè)試

 

將機(jī)械導(dǎo)納定義為運(yùn)動(dòng)響應(yīng)與激振力的拉普拉斯變換之比，當(dāng)然也可以定義為兩者傅里葉變換之比。將機(jī)械導(dǎo)納的倒數(shù)稱為機(jī)械阻抗?？梢姍C(jī)械導(dǎo)納與傳遞函數(shù)是相互融合的。因?yàn)檎駝?dòng)響應(yīng)有位移x(t )、速度v(t )和加速度a(t )三種，令X(s )、V(s )和A(s )分別為x(t )、v(t )和a(t )的拉普拉斯變換，f(s )為激振力f(t )的拉普拉斯變換，則機(jī)械導(dǎo)納和機(jī)械阻抗可用以下六個(gè)參數(shù)來(lái)描述：

 

位移導(dǎo)納：

 

 

速度導(dǎo)納：

 

 

加速度導(dǎo)納：

 

 

位移阻抗：

 

 

速度阻抗：

 

 

加速度阻抗：

 

 

位移導(dǎo)納和位移阻抗又分別稱為動(dòng)柔度和動(dòng)剛度；速度導(dǎo)納和速度阻抗又稱機(jī)械導(dǎo)納和機(jī)械阻抗；加速度導(dǎo)納又稱機(jī)械慣性，加速度阻抗謂之動(dòng)態(tài)質(zhì)量。

 

在分析人體對(duì)于振動(dòng)的敏感程度時(shí)，試驗(yàn)表明，人體對(duì)橫向振動(dòng)的敏感度最大，縱向振動(dòng)次之，垂向振動(dòng)的影響最小。對(duì)于中低頻振動(dòng) (12Hz以下)，人體的敏感度主要取決于加速度導(dǎo)納及其導(dǎo)納的變化率，對(duì)于頻率較高的振動(dòng) (12~60Hz)，其敏感度主要與速度導(dǎo)納有關(guān)。在評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)的抗振能力時(shí)則常用動(dòng)剛度，在共振區(qū)動(dòng)剛度僅為靜剛度的幾分之一甚至十幾分之一。在研究振動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)疲勞損傷時(shí)，常用機(jī)械慣性指標(biāo)。

 

機(jī)械導(dǎo)納（或機(jī)械阻抗）的測(cè)試可由以下幾個(gè)途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)：

 

(1) 對(duì)被測(cè)對(duì)象施加簡(jiǎn)諧激振

 

利用響應(yīng)圖片與激勵(lì)圖片之間的幅值比和相位差，直接確定該系統(tǒng)的導(dǎo)納或阻抗，如位移導(dǎo)納為

 

 

同理可求得其它導(dǎo)納或阻抗。其測(cè)試結(jié)果可由圖1所示的數(shù)字信號(hào)分析儀來(lái)完成。

 

 

 

圖1 用數(shù)字信號(hào)分析儀進(jìn)行振動(dòng)參數(shù)測(cè)量框圖

 

(2) 對(duì)被測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行瞬態(tài)或隨機(jī)激振

 

利用頻響函數(shù)H(jω)=X(jω))/F(jω)，直接測(cè)取輸入與輸出的傅里葉變換之比而獲得。不過(guò)為了減少隨機(jī)噪聲和其它干擾的影響，提高分析精度，常通過(guò)以下關(guān)系來(lái)獲取

 

 

測(cè)試系統(tǒng)如圖1所示。它以FFT分析儀為主機(jī)，由敲擊錘（或由隨機(jī)信號(hào)發(fā)生器控制的激振器）上的力信號(hào)（激勵(lì)）和試件的加速度信號(hào)（響應(yīng)）經(jīng)放大后送入FFT分析儀運(yùn)算處理，獲得所需要的機(jī)械阻抗數(shù)據(jù)。

 

固有頻率和阻尼比的測(cè)試

 

測(cè)試與識(shí)別系統(tǒng)固有頻率和阻尼比等振動(dòng)參數(shù)的方法很多，習(xí)慣上將它們分為時(shí)域法和頻域法兩大類。時(shí)域法是，根據(jù)結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)激振響應(yīng)曲線或數(shù)據(jù)來(lái)識(shí)別出所需要的振動(dòng)參數(shù)；頻域法則是，利用振動(dòng)試驗(yàn)得到的頻響函數(shù)或機(jī)械導(dǎo)納的特性曲線或數(shù)據(jù)作為已知條件，從中識(shí)別出所需要的參數(shù)。本節(jié)重點(diǎn)介紹常用的自由振動(dòng)法（瞬態(tài)激振）和共振法（穩(wěn)態(tài)正弦激振）。

 

1自由振動(dòng)法

對(duì)于圖2a所示的單自由度系統(tǒng)，若給以初始的瞬態(tài)激振，如初始速度dz(0)/dt或初始位移z(0)，則系統(tǒng)將在阻尼影響下作衰減的自由振動(dòng)。有阻尼自由振動(dòng)曲線如圖2b所示，其表達(dá)式為

 

 

 

式中，ωd=ωn√1-ξ² 為有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率。

 

 

圖2 有阻尼自由振動(dòng)曲線

 

根據(jù)阻尼自由振動(dòng)的記錄曲線，阻尼比ξ 可由曲線上相鄰峰值的衰減比值來(lái)確定。即

 

 

其中，δn=lnMi/Mi+1。通過(guò)記錄曲線上的時(shí)標(biāo)可以確定出周期T，從而可得ωd=2π/T，因此系統(tǒng)的固有頻率ωn 為

 

 

 

當(dāng)阻尼很小時(shí)，可近似地取ωn=ωd=2π/T。例如ξ=0.3時(shí)，ωn 與ωd 相差不到5%。

 

2共振法

 

對(duì)于受迫振動(dòng)的單自由度系統(tǒng)，當(dāng)激振頻率接近系統(tǒng)固有頻率時(shí)，振動(dòng)響應(yīng)就會(huì)顯著增加。借助位移導(dǎo)納的幅、相特性曲線可以用下述方法分別進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

 

 

(1) 利用幅頻曲線進(jìn)行估計(jì)

 

當(dāng)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行正弦掃描激振時(shí)，其振動(dòng)能量在共振點(diǎn)處達(dá)到最大值，如圖3所示。幅值最大處的頻率為位移共振頻率ωr，已知ωr=ωn√1-2ξ ²。在小阻尼時(shí)，可以直接用共振峰對(duì)應(yīng)的頻率ωr 近似估計(jì)固有頻率ωn，即ωn≈ωr，由位移幅頻特性表達(dá)式可知，當(dāng)ω=ωn 時(shí)

 

 

將以下兩式

 

 

 

分別代入位移幅頻特性表達(dá)式得

 

 

即

 

 

對(duì)應(yīng)在對(duì)數(shù)坐標(biāo)中幅值下降3dB之處（半功率點(diǎn)），由此可求得阻尼比ξ  的估計(jì)值為

 

 

 

式中，Δω 稱為半功率帶寬。

 

 

 

圖3 由位移幅頻曲線估計(jì)阻尼比

 

(2) 利用相頻曲線進(jìn)行估計(jì)

 

不管阻尼比ξ 為何值，當(dāng)激振頻率和固有頻率相同時(shí)，位移的相角滯后總是90°。因此，通過(guò)所測(cè)得的相頻曲線，可以直接確定出系統(tǒng)的固有頻率ωn。從所測(cè)得的相頻曲線亦可確定出阻尼比ξ。因?yàn)橛上囝l特性

 

 

令η=ω/ωn，則

 

 

當(dāng)ω=ωn，η=1時(shí)

 

 

因此，由所測(cè)相頻曲線求得ω=ωn 處的斜率就可以直接估算出阻尼比ξ 。

 

用相頻曲線估計(jì)固有頻率和阻尼比簡(jiǎn)捷而又準(zhǔn)確，但是相角測(cè)量比幅值測(cè)量要復(fù)雜一些。

 

(3) 根據(jù)位移響應(yīng)的虛、實(shí)部頻率特性進(jìn)行估算

 

將單自由度系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)（位移導(dǎo)納）

 

 

分解為實(shí)部分量ReH(jω) 和虛部分量ImH(jω)，即

 

 

 

其圖形分別如圖4和圖5所示。

 

 

圖4 實(shí)頻曲線

 

 

圖5 虛頻曲線

 

由虛、實(shí)部的表達(dá)式和圖形可見：

 

在η=1，即ω=ωn 處，實(shí)部為零，虛部為-1/2ξK，接近最小值。由此可以確定出系統(tǒng)的固有頻率ωn；

 

在η1=√1-2ξ≈1-ξ 和η2=√1+2ξ≈1+ξ 處，實(shí)頻曲線分別取得最大值和最小值，因此不難從曲線的峰谷之間距確定出系統(tǒng)的阻尼比為

 

 

 

式中，η1=ω1/ωn；η2=ω2/ωn；ω1 與ω2 為實(shí)頻的極值頻率。

 

 

 

在虛頻曲線上與η1 和η2 對(duì)應(yīng)的值非常接近1/4ξK，因此在虛頻曲線上按峰值 (1/2ξK) 的一半作水平線，截得曲線橫坐標(biāo)間距約為2ξ，從而可近似估計(jì)出系統(tǒng)的阻尼比ξ，其表達(dá)式與上式相同。

 

 

 

由以上分析看出，虛、實(shí)頻曲線都包含有幅值和相位信息，而且虛頻曲線具有坡陡峰峭的特點(diǎn)，因此較之幅頻、實(shí)頻等曲線能提供更精確的參數(shù)估算值，尤其在研究多自由度系統(tǒng)時(shí)，其優(yōu)點(diǎn)更為突出。

 

(4) 利用幅相特性曲線（矢端圖）進(jìn)行估計(jì)

 

幅相特性曲線，也稱為奈奎斯特圖 (Nyquist)。它是當(dāng)頻率ω 從零變化到無(wú)窮大時(shí)，表示在極坐標(biāo)上幅值與相位差的關(guān)系圖。因此，它是頻響函數(shù)的矢端曲線。

 

單自由度系統(tǒng)位移導(dǎo)納的奈奎斯特曲線可由

 

 

導(dǎo)出為

 

 

 

當(dāng)η→1，即ω→ωn 時(shí)，其方程變?yōu)?/span>

 

 

就是說(shuō)，在ωn 附近位移導(dǎo)納的矢端曲線趨于一個(gè)圓，其圓心為(0,-1/4ξK )，半徑為1/4ξK。位移導(dǎo)納圓具有以下特點(diǎn)，如圖6所示。

 

 

圖6 單自由度系統(tǒng)的矢端圖

 

ω=0時(shí)，ReH(jω)=1/k，ImH(jω)=0，即在導(dǎo)納圓上有缺口；

 

η=ω/ωn=1時(shí)，ReH(jω)=0，ImH(jω)=-1/2ξk，即曲線與虛軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)著ω=ωn，由此確定出固有頻率。還需指出，在固有頻率處曲線弧長(zhǎng)對(duì)頻率的變化率ds|dω 最大。這樣若用等頻率間隔去抽樣被測(cè)數(shù)據(jù)或分析幅相曲線、則由Δs|Δω 的極大值即可確定出固有頻率。這一概念對(duì)多自由度系統(tǒng)確定ωn 十分有用。

 

ω→∞時(shí)，ReH(jω) →0，ImH(jω)→0。

 

由圖6所示，A(ω1)=A(ω2)=OM/√2=A(ωn)/√2，所以與OM 垂直的直徑ab 兩端的ω1 與ω2 對(duì)應(yīng)著半功率點(diǎn)，故滿足ξ=ω2-ω1/2ωn。

 

上面所述均為位移導(dǎo)納的幅頻、相頻、實(shí)頻、虛頻乃至奈奎斯特圖，也可以根據(jù)需要作出速度、加速度導(dǎo)納圖以及阻抗圖，可參閱有關(guān)文獻(xiàn)。在具體測(cè)試中，F(xiàn)FT數(shù)字分析儀可以做出上述各種特性曲線。