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一、內(nèi)力的概念與作用種類(lèi)

 

01內(nèi)力的概念

在外力作用下，彈性體由于變形，其內(nèi)部各點(diǎn)均會(huì)發(fā)生相對(duì)位移，因而產(chǎn)生相互作用力，這種相互作用力稱(chēng)為內(nèi)力。

如果組成彈性體的物質(zhì)在彈性體中的分布是均勻而且連續(xù)的，彈性體內(nèi)各部分的內(nèi)力組成連續(xù)分布的力系。

由于整體是平衡的，因此對(duì)于截開(kāi)的每一部分也是平衡的——作用在每一部分上的外力必須與截面上分布內(nèi)力相平衡，形成平衡力系。

 

02內(nèi)力的作用種類(lèi)

對(duì)于桿件結(jié)構(gòu)體系來(lái)講，桿件內(nèi)部的內(nèi)力分為：軸向作用，即拉力與壓力；彎曲作用，即彎矩；扭轉(zhuǎn)作用，即扭矩；剪切作用，即剪力。要明確這幾種作用對(duì)于桿件產(chǎn)生的變形趨勢(shì)。

 

03內(nèi)力的正負(fù)規(guī)則

對(duì)于任何內(nèi)力，其正負(fù)規(guī)定的基本原則是一致的：選取左側(cè)截面，并以其法線方向?yàn)閤軸的正向建立坐標(biāo)系。

 

對(duì)于軸力，與坐標(biāo)系同向的軸力為正，反之為負(fù)；

對(duì)于彎矩，逆時(shí)針為正，反之為負(fù)；

對(duì)于剪力，順時(shí)針為正，反之為負(fù)；

對(duì)于扭矩，在截面內(nèi)逆時(shí)針作用為正，反之為負(fù)。

 

二、內(nèi)力的求解

 

對(duì)于任何截面的任何內(nèi)力，其求解原則也基本一致——以截面截取出的左側(cè)隔離體為基礎(chǔ)，對(duì)其進(jìn)行外部的、整體的力學(xué)平衡。

 

軸力

對(duì)于軸力，是指桿件橫截面上所作用的截面法向力的合力，可以簡(jiǎn)化至截面的軸線上，作用點(diǎn)即為該截面的桿件軸線通過(guò)點(diǎn)，方向?yàn)樵擖c(diǎn)的軸線切線的方向。截面法是軸力求解的基本方法，通過(guò)截取截面并利用力學(xué)平衡原則，可以有效求解出截面的軸力作用。但要注意，截面必須是橫截面，即與該點(diǎn)軸線垂直的截面。

 

剪力

剪力是距離無(wú)限接近的相臨截面上相互平行錯(cuò)動(dòng)的作用，是指桿件橫截面上所作用的截面切向力的合力，可以簡(jiǎn)化至截面的軸線上，作用點(diǎn)即為該截面的桿件軸線通過(guò)點(diǎn)，方向?yàn)樵擖c(diǎn)的軸線法向的方向。截面法也是剪力求解的基本方法，通過(guò)截取截面并利用力學(xué)平衡原則，可以有效求解出截面的剪力作用。

 

彎矩

彎矩是促使相臨截面一側(cè)相互接近，另一側(cè)相互分離的作用。因此彎矩在截面上產(chǎn)生拉力與壓力，拉力與壓力共同構(gòu)成截面力偶。截面法可以求解彎矩的量值，基本方法為選擇想要求解彎矩的截面并截開(kāi)，對(duì)于截面左側(cè)的桿件進(jìn)行力學(xué)平衡，以截面中心為彎矩中心，可以消去截面剪力所產(chǎn)生的彎矩作用，直接求解出截面彎矩的大小。

 

扭矩

扭矩是距離無(wú)限接近的相臨截面上相互旋轉(zhuǎn)錯(cuò)動(dòng)的作用，因此扭矩在截面上產(chǎn)生的力也屬于剪力。截面法可以求解扭矩的量值，基本方法為選擇想要求解扭矩的截面并截開(kāi)，對(duì)于截面左側(cè)的桿件進(jìn)行力學(xué)平衡，以截面軸線的切線為扭轉(zhuǎn)中心線，可以直接求解出截面彎矩的大小。

不同作用產(chǎn)生的相同的內(nèi)力是可以疊加的。

 

 

三、內(nèi)力圖

 

內(nèi)力圖是指表達(dá)的桿件內(nèi)力變化狀況的圖形。對(duì)于內(nèi)力圖，基本原理是以桿件的左端點(diǎn)為原點(diǎn)，以桿件的軸線為X坐標(biāo)軸，右側(cè)為坐標(biāo)正向，內(nèi)力對(duì)于X軸的變化函數(shù)圖像即為內(nèi)力圖。

 

01繪制復(fù)雜內(nèi)力圖的基本方法

 (1) 梁的剪力圖與彎矩圖

作用在梁上的平面載荷如果不包含縱向力，這時(shí)梁的橫截面上只有剪力Q和彎矩M兩種內(nèi)力分量。表示剪力和彎矩沿梁軸線方向變化的圖形，分別稱(chēng)為剪力圖和彎矩圖。

剪力圖與彎矩圖的繪制方法如下：

 

根據(jù)載荷及約束力的作用位置，確定控制面；

應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值；

建立Q-x和M-x坐標(biāo)系，并將控制面上的剪力和彎矩值標(biāo)在相應(yīng)的坐標(biāo)系中；

應(yīng)用平衡微分方程確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進(jìn)而畫(huà)出剪力圖與彎矩圖。

 

(2) 剛架的內(nèi)力圖

由兩根或兩根以上的桿件組成的并在連接處采用剛性連接的結(jié)構(gòu)，稱(chēng)為剛架或框架。當(dāng)桿件變形時(shí)，兩桿連接處保持剛性，即兩桿軸線的夾角（一般為直角）保持不變。剛架中的橫桿一般稱(chēng)橫梁；豎桿稱(chēng)為立柱；二者連接處稱(chēng)為剛節(jié)點(diǎn)。

在平面載荷作用下，組成剛架的桿件橫截面上一般存在軸力、剪力和彎矩三個(gè)內(nèi)力分量。由于彎矩的正負(fù)號(hào)與觀察者所處的位置有關(guān)，同一彎矩，在桿件一側(cè)視之為正，另一側(cè)視之則為負(fù)。這將給剛架彎矩圖的繪制帶來(lái)不必要的麻煩。

注意到，彎矩的作用將使桿件軸線一側(cè)的材料沿軸線方向受拉、另一側(cè)的材料受壓。而且，這種性質(zhì)不會(huì)因觀察者的位置不同而改變。根據(jù)這一特點(diǎn)，繪制剛架彎矩圖時(shí)，可以不考慮彎矩的正負(fù)號(hào)，只需確定桿橫截面上彎矩的實(shí)際方向，根據(jù)彎矩的實(shí)際方向，判斷桿的哪一側(cè)受拉（剛架的內(nèi)側(cè)還是外側(cè)），然后將控制面上的彎矩值標(biāo)在受拉的一側(cè)。控制面之間曲線的大致形狀，依然由平衡微分方程確定。

剪力和軸力的正負(fù)號(hào)則與觀察者的位置無(wú)關(guān)，剪力圖和軸力圖畫(huà)在哪一側(cè)都可以，但需標(biāo)出它們的正負(fù)。

 

繪制彎矩圖和剪力圖時(shí)要注意的幾個(gè)問(wèn)題：

 

確定"控制面"或"特殊面"上的彎矩和剪力時(shí)，要應(yīng)用截面法，用假想截面從所考察的截面處將梁截開(kāi)。與求拉伸和扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力一樣，切不可將截面附近處所作用的外力當(dāng)作截面上的彎矩和剪力。特別是對(duì)于初學(xué)者這一點(diǎn)顯得更加重要。當(dāng)截面法比較熟悉后，可以不必在紙面上畫(huà)出截開(kāi)后的圖形，但在思想里一定要有截開(kāi)的概念。

求梁截面上的彎矩和剪力時(shí)，梁上的外力不能任意簡(jiǎn)化。這是由變形體的特點(diǎn)決定的。在研究剛體的平衡或運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，忽略了小變形的影響，因而將外力向任意點(diǎn)簡(jiǎn)化，對(duì)平衡方程沒(méi)有影響。但是，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力是由于變形引起的，二者緊密相聯(lián)。截開(kāi)以前，如將外力簡(jiǎn)化，則整個(gè)結(jié)構(gòu)的變形將發(fā)生變化，內(nèi)力亦因此而異。

截開(kāi)以后當(dāng)用平衡條件計(jì)算某個(gè)截面上的彎矩和剪力時(shí)，這又是討論平衡問(wèn)題，因而作用在切開(kāi)部分上的外力又可簡(jiǎn)化，而對(duì)計(jì)算結(jié)果不發(fā)生任何影響。

要注意彎矩和剪力的正負(fù)號(hào)，正負(fù)號(hào)不僅關(guān)系到所繪制的彎矩圖和剪力圖能否正確，而且對(duì)以后的強(qiáng)度和剛度計(jì)算都有很大的影響。

 

為了避免發(fā)生正負(fù)號(hào)的錯(cuò)誤，要特別注意以下幾點(diǎn)：

 

因?yàn)閺澗睾图袅Φ恼?fù)號(hào)是根據(jù)它們所引起的變形效果規(guī)定的，所以不僅要根據(jù)它們的作用方向，而且要考慮它們的作用面，然后根據(jù)符號(hào)規(guī)則確定它們的正負(fù)。

對(duì)于簡(jiǎn)單問(wèn)題，可以直接判斷截面上彎矩和剪力的實(shí)際方向時(shí)，可根據(jù)它們的實(shí)際方向以及前述符號(hào)規(guī)則確定它們的正負(fù)。

對(duì)于比較復(fù)雜問(wèn)題，當(dāng)不能判斷截面上彎矩和剪力的實(shí)際方向時(shí)，則應(yīng)先根據(jù)前述符號(hào)規(guī)則假設(shè)截面上的彎矩和剪力為正方向，然后由平衡條件計(jì)算截面上的彎矩和剪力，若結(jié)果為正，則說(shuō)明假設(shè)的正方向是正確的，即彎矩、剪力均為正；若結(jié)果為負(fù)，則說(shuō)明彎炬與剪力的實(shí)際方向相反，即為負(fù)。這樣，由平衡方程所得到的彎矩和剪力的正負(fù)號(hào)與它們的實(shí)際情況是一致的。

對(duì)于剛架（或框架），其彎矩圖的正負(fù)號(hào)將與觀察者的位置有關(guān)。為了避免這種矛盾，在繪制剛架彎矩圖時(shí)，不考慮彎矩的正負(fù)號(hào)，而是確定截面上彎矩和力的實(shí)際方向，根據(jù)這一方向即可判斷桿軸線兩側(cè)，哪一側(cè)受拉，哪一側(cè)受壓；將彎矩?cái)?shù)值標(biāo)在受壓的一側(cè)。這樣，就與觀察者的位置無(wú)關(guān)，人們從彎矩圖就可以判斷不同截面上彎矩的實(shí)際方向，從而收到與標(biāo)出正負(fù)號(hào)的同樣效果。剛架剪力圖正負(fù)則與觀察者位置無(wú)關(guān)，因而可以沿用直梁中剪力圖的繪制方法。

 

(3) 剪力與彎矩的微分關(guān)系

桿件截面彎矩函數(shù)、剪力函數(shù)以及連續(xù)性和在函數(shù)存在著特定的微分關(guān)系，可以利用彎矩函數(shù)求解剪力函數(shù)并進(jìn)而求解出連續(xù)性的荷載函數(shù)。另外，還可以根據(jù)彎矩圖、剪力圖中特定的幾何形狀來(lái)判斷荷載狀況。以下幾方面應(yīng)注意：

 

集中荷載會(huì)產(chǎn)生據(jù)有尖點(diǎn)的彎矩圖，尖點(diǎn)的指向與荷載方向相同；

集中荷載會(huì)使剪力圖中發(fā)生突變，突變量與荷載量相同，如果桿件從左向右為正向的話，那么突變方向也與荷載方向相同；

均布荷載的剪力圖為斜直線，其斜率等于荷載集度；

均布荷載的彎矩圖為二次拋物線，拋物線上任意一點(diǎn)的斜率與該點(diǎn)剪力數(shù)值相同；

集中力偶作用會(huì)使彎矩圖發(fā)生突變，突變方向與力偶方向相同，但不會(huì)使剪力圖發(fā)生任何變化；

剪力為0處的彎矩達(dá)到極值，剪力為0的段落彎矩不發(fā)生變化。

 

四、各類(lèi)常見(jiàn)結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn)

 

01多跨靜定梁

多跨靜定梁是簡(jiǎn)支梁的組合與延續(xù)，由于是靜定的，因此可以利用基本方程組求解。在求解中要注意分開(kāi)主要結(jié)構(gòu)與附屬結(jié)構(gòu)，先求解附屬結(jié)構(gòu)。主要結(jié)構(gòu)與附屬結(jié)構(gòu)的銜接節(jié)點(diǎn)成為附屬結(jié)構(gòu)的支座；反之，該節(jié)點(diǎn)對(duì)于主要結(jié)構(gòu)來(lái)講成為外力作用。

 

02 靜定拱結(jié)構(gòu)

拱是曲線軸線的結(jié)構(gòu)，在側(cè)向力作用下，支座處會(huì)產(chǎn)生水平推力，其彎矩比相應(yīng)跨度的梁要小，截面以壓力為主、壓彎聯(lián)合的截面應(yīng)力分布比梁均勻。特別當(dāng)按主要荷載情況設(shè)計(jì)為合理拱軸時(shí)，結(jié)構(gòu)中彎矩很小，截面主要承受壓應(yīng)力，從而可使拉壓強(qiáng)度不等的脆性材料更好發(fā)揮作用。但推力對(duì)支座的要求提高，用作屋架時(shí)或地基很軟弱難以承擔(dān)很大推力時(shí)，可改用拉桿承受"推力"。三鉸拱是典型的靜定拱。

 

03靜定剛架

多個(gè)桿件成一定的角度互相剛結(jié)而形成的結(jié)構(gòu)是剛架，對(duì)于剛架的內(nèi)力分析，要注意每一個(gè)連接桿件的計(jì)算以及桿件之間的聯(lián)結(jié)方式。

 

04靜定桁架

 

組成桁架的所有桿均為直桿；

各桿均為鉸鏈連接，且鉸鏈內(nèi)的摩擦略去不計(jì)；

載荷均加在桁架平面內(nèi)，且都施加在節(jié)點(diǎn)上；

桁架中桿件的重量比桁架所受的荷載小得多，故可略去不計(jì)。

 

滿(mǎn)足上述條件的桁架，其中每根桿都只在端部受力，而端部又是鉸鏈連接，故桁架中的每根桿就是二力桿。

 

05求解桁架各桿內(nèi)力的節(jié)點(diǎn)法

節(jié)點(diǎn)法是以節(jié)點(diǎn)為平衡對(duì)象，通過(guò)求出桿件作用在節(jié)點(diǎn)上的力，從而求得桿件的受力。因?yàn)闂U件給節(jié)點(diǎn)的力和節(jié)點(diǎn)給桿件的力互為作用與反作用力。因此，求得了前者，亦即求得后者。平面桁架中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)所承受的都是平面匯交力系，因此，根據(jù)每一節(jié)點(diǎn)的平衡條件即可求得各桿的受力。

采用節(jié)點(diǎn)法解題時(shí)，應(yīng)注意以下兩個(gè)問(wèn)題：

 

因?yàn)槊總€(gè)節(jié)點(diǎn)所承受的都是匯交力系，只能提供兩個(gè)平衡方程，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只能解出兩個(gè)未知力。解題時(shí)，應(yīng)從只有兩個(gè)未知力的節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，然后按照這一原則，依次考慮各個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡。對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)用平衡方程時(shí)，若坐標(biāo)選擇得合適，可以用一個(gè)方程解一個(gè)未知力，而無(wú)需解聯(lián)立方程。當(dāng)支座約束力為未知時(shí)，應(yīng)先考慮桁架整體的平衡，求出支座約束力后，才能應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法求解。

在解題過(guò)程中要注意區(qū)別拉桿和壓桿。在節(jié)點(diǎn)法中，凡作用在節(jié)點(diǎn)上的力指向節(jié)點(diǎn)的，則桿件受壓；作用在節(jié)點(diǎn)上的力背向節(jié)點(diǎn)的，則桿件受拉。如果在解題過(guò)程中，將未知力都假設(shè)為背向節(jié)點(diǎn)的，那么所得結(jié)果為正，則表明桿件受拉，所得結(jié)果為負(fù)，則表明桿件受壓。

 

06求解桁架各桿內(nèi)力的截面法

截面法是用假想截面將桁架截成兩部分，在截開(kāi)處用桿件的相互作用力（稱(chēng)為桿件內(nèi)力）代替兩部分的相互作用，然后考慮其中任意一部分的平衡，即可直接求得作用在桿件上的內(nèi)力。

采用截面法解題時(shí)亦需注意幾個(gè)問(wèn)題：

因?yàn)榻爻霾糠值氖芰槠矫媪ο担梢蕴峁┤齻€(gè)平衡方程，即每截出一部分只能解出三個(gè)未知力。所以，第一次所截割的桿不能超過(guò)三根，以后所截割的未知力的桿亦不得超過(guò)三根。

建立平衡方程時(shí)，可采用平面力系三個(gè)力矩平衡方程，而力矩方程的力矩中心盡量選在二桿的未知力作用線的交點(diǎn)，以便在一個(gè)力矩方程中只出現(xiàn)一個(gè)未知力。

解題時(shí)各桿受力均假設(shè)為拉力，若所得結(jié)果為正，則桿受拉；若所得結(jié)果為負(fù)，則桿受壓。