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一、引言

 

在產(chǎn)品的壽命分析及預計研究中，需要用到各種壽命分布函數(shù)，主要包括：正態(tài)分布函數(shù)、對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)、指數(shù)分布函數(shù)、威布爾分布函數(shù)等。其中，指數(shù)分布是用來描述電子產(chǎn)品在隨機失效階段的可靠性函數(shù)，在可靠性領域中研究甚為廣泛。然而，由于產(chǎn)品自身的復雜性、產(chǎn)品所處階段的不確定性等因素，我們在處理產(chǎn)品試驗數(shù)據(jù)、現(xiàn)場使用數(shù)據(jù)、產(chǎn)品售后數(shù)據(jù)時，并不能完全確定產(chǎn)品所處的浴盆曲線階段，與此同時，很多產(chǎn)品由電子件及機械執(zhí)行件構成，僅僅利用指數(shù)分布進行數(shù)據(jù)耦合是遠遠不夠的?；诖?，威布爾分布在產(chǎn)品的壽命分析中可以起到重要的作用，威布爾分布中的形狀參數(shù)取值不同，可以產(chǎn)生不同的函數(shù)形態(tài)，函數(shù)形態(tài)可以對應不同的產(chǎn)品失效階段；威布爾分布中的尺度參數(shù)可以在確定函數(shù)形態(tài)后對函數(shù)進行拉伸，可以對應產(chǎn)品的失效速率進行耦合描述；威布爾分布的位置參數(shù)，又可以將函數(shù)的初始位置進行平移，可以對應描述某些產(chǎn)品通過一段“貨架期”后進入壽命階段的特性。

 

本文將細致介紹威布爾分布函數(shù)對應的失效密度函數(shù)f(t)、失效函數(shù)F(t)、失效函數(shù)；威布爾分布函數(shù)的形狀參數(shù)、尺度參數(shù)和位置參數(shù)的含義，參數(shù)的變化可以形成不同的失效函數(shù)形態(tài)產(chǎn)生不同的函數(shù)類型；威布爾分布函數(shù)的三個參數(shù)如何通過雙對數(shù)方式及線性回歸方式進行求解，從而估計產(chǎn)品的各種壽命，為產(chǎn)品制定保修期、售后等提供依據(jù)。

 

二、威布爾分布的失效密度函數(shù)、不可靠度函數(shù)、失效函數(shù)及各參數(shù)含義

 

1、威布爾分布的相關函數(shù)形式

 

 

2、威布爾分布各參數(shù)含義

 

自變量t含義：在不同的場合中可以有不同的意義，比如時間、距離、（試驗）循環(huán)或機械應力等等。

 

形狀參數(shù)β含義：形狀參數(shù)是瞬時失效率隨時間的變化率。例如：早期失效、隨機失效、耗損失效。形狀參數(shù)決定了該分布是威布爾分布族中的哪一種。形狀參數(shù)不同的威布爾分布密度函數(shù)的形狀是截然不同的。這就使得威布爾分布與其他分布模型相比，能夠擬合很多的壽命數(shù)據(jù)。形狀參數(shù)起決定性作用，決定函數(shù)形狀即產(chǎn)品所處的失效階段，在不同的參考文獻中記錄為不同的字母，讀者只要記住在威布爾分布的各函數(shù)中，冪指數(shù)位置的參數(shù)為形狀參數(shù)即可。因為冪指數(shù)在整個函數(shù)中級別最高，驅動效應最強，此位置的參數(shù)為最為重要的形狀參數(shù)。

 

尺度參數(shù)η含義：尺度參數(shù)變化影響失效率增長速度，η越小，增長速度越快。尺度參數(shù)起到拉伸整個函數(shù)的作用，對于產(chǎn)品失效而言體現(xiàn)為失效速率的快慢問題。

 

位置參數(shù)t0含義：利用位置參數(shù)，失效時間平移了一段固定時間（t0），這個固定時間稱作“門限”。當產(chǎn)品先度過一段“貨架期”才可能發(fā)生首次失效時，通常這段時間可以作為位置參數(shù)。如果威布爾概率圖有凹凸形狀則提示需要加入位置參數(shù)。很多時候產(chǎn)品出貨后即應用，進入壽命期，此時t0=0，這時威布爾分布即變換成為兩參數(shù)分布。位置參數(shù)會改變失效率函數(shù)的左右位置（即起始位置的改變），不會引起函數(shù)曲線形狀和大小的變化。

 

下面通過數(shù)形結合的方式更直觀的描述各參數(shù)在壽命分布中的意義：

 

 

圖1：尺度參數(shù)η=1，位置參數(shù)t0=0時威布爾分布族的失效密度函數(shù)形狀

 

從圖1中可以看出，當形狀參數(shù)β=3.44時，威布爾分布的概率密度函數(shù)（PDF）看起來很像正態(tài)分布，實際上它除尾部外都與正態(tài)分布十分相似；當形狀參數(shù)β<1時(圖上為0.5)，失效密度函數(shù)沒有峰值，直線t=t0是它的一條豎直漸近線；當形狀參數(shù)β>1時, 失效密度函數(shù)先增后減。

 

 

 

圖2：威布爾分布失效密度函數(shù)圖形（尺度參數(shù)、位置參數(shù)對時效密度函數(shù)作用）

 

從圖2左邊第一張圖中可以看出，當形狀參數(shù)一定，位置參數(shù)為0時，尺度參數(shù)的作用是拉伸失效密度函數(shù)，尺度參數(shù)越大，失效函數(shù)上升越慢，下降也越慢；從圖2第二張圖可以看出，位置參數(shù)的作用相當于將失效密度函數(shù)右移動，實際的意義為：早期（即右移的一段）產(chǎn)品不失效。

 

 

圖3：威布爾分布可靠度與不可靠度函數(shù)圖形（形狀參數(shù)、尺寸參數(shù)、位置參數(shù)比較）

 

從圖3的6張圖中，顯而易見的看出，形狀參數(shù)越大，可靠度起始水平高，但可靠度隨時間下降快（即形狀參數(shù)越大，不可靠度（失效）起始水平低，但可靠度隨時間上升快）；尺度參數(shù)越大，可靠度下降越緩慢（即尺度參數(shù)越大，不可靠度（失效）上升越緩慢）；位置參數(shù)的加入，使得產(chǎn)品存在一個無失效時間（即產(chǎn)品過了位置參數(shù)時間后才開始失效，前面時間全部完好）

 

 

圖4：威布爾分布失效率函數(shù)圖形

 

從圖4的3張圖中，可以看出，形狀參數(shù)，決定了失效率的上升、下降或恒定；尺度參數(shù)決定了失效率的快慢；位置參數(shù)決定了起始失效位置。

 

對于形狀參數(shù)對失效率的影響作如下總結：

 

當β=1，威布爾分布就是指數(shù)分布；

 

當β>1，威布爾分布的瞬時失效率隨時間遞增；

 

當β<1，威布爾分布的瞬時失效率隨時間遞減。

 

3、威布爾分布小結

 

通過上面的分析，我們認識到威布爾分布的變換形式是多樣的，通過不同的參數(shù)變換可以變換成不同形式的分布模型，例如：指數(shù)分布、正態(tài)分布等。與此同時，對于產(chǎn)品的早期失效、隨機失效、耗損失效都可以進行描述。

 

基于此種特性，我們需要進一步研究，如何通過一系列的產(chǎn)品數(shù)據(jù)，求解出威布爾分布的各參數(shù)，從而進一步推算產(chǎn)品的各種壽命指標。

 

三、威布爾分布評估產(chǎn)品壽命指標分析

 

1、整體思路

 

通過威布爾分布分析產(chǎn)品壽命的整體思路是，利用上面分析的不可靠度函數(shù)。

 

 

通過產(chǎn)品的故障統(tǒng)計，利用線性回歸的方式將產(chǎn)品的每個故障時間t、計算出的每個故障的不可靠度F(t)組成回歸方程，將形狀參數(shù)、尺度參數(shù)及位置參數(shù)求解出。從而就可以利用不可靠的函數(shù)，計算產(chǎn)品的各種壽命指標。

 

2、壽命指標

 

常用的壽命指標有B10、B20、中位壽命（B50）、MTBF(MTTF)等。用戶可以根據(jù)自己的需求制定符合自己企業(yè)需求的壽命指標。

 

B10:作為考察的一批產(chǎn)品從投入使用至10%的產(chǎn)品損壞所經(jīng)歷的時間。利用上述F(t)=0.1,反解出時間t即可。同理可知道B20及中位壽命即B50含義及具體求法。 

 

MTBF(MTTF):平均無故障間隔時間。從威布爾分布失效函數(shù)的角度解釋為，當產(chǎn)品工作時間t達到特征壽命η時，這時的產(chǎn)品失效率為63.2%，MTBF(MTTF)就是特征壽命η。MTBF(MTTF)為經(jīng)常使用的壽命指標，是否合適此處不討論，讀者可以根據(jù)需要選擇。

 

讀者可以根據(jù)自己的產(chǎn)品需要，選擇其它的壽命指標。

 

3、數(shù)據(jù)來源

 

威布爾分布耦合的壽命數(shù)據(jù)可以從多方面獲得，（1）通過可靠性試驗，統(tǒng)計產(chǎn)品數(shù)量、試驗時間、故障數(shù)；（2）現(xiàn)場使用數(shù)據(jù)，統(tǒng)計使用時間、故障數(shù)、產(chǎn)品數(shù)量；（3）售后數(shù)據(jù)，統(tǒng)計返修時間、故障數(shù)、故障產(chǎn)品數(shù)量。

 

威布爾分布的數(shù)據(jù)處理可以滲入到產(chǎn)品的各個階段，應用廣泛、實用性極高。

 

4、本文實例數(shù)據(jù)來源

 

本次實例數(shù)據(jù)來源于某廠家生產(chǎn)的汽車顯示屏產(chǎn)品，隨機抽取201件研究其使用可靠性。通過顯示屏的返回車廠維修數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)見表1。（篇幅考慮，截圖部分數(shù)據(jù)示例）

 

 

5、中位秩法計算不可靠度F（t）

 

中位秩計算F(t)，此處簡單介紹計算方法，需要詳細了解例如：刪失數(shù)據(jù)、擱置數(shù)據(jù)、調整秩的讀者可參考IEC61649標準或相關資料。

 

 

6、不可靠度F（t）的雙對數(shù)表示方法

 

為了線性回歸的需要，需要將F(t)變形為Y=AX+B的形式，此處的方法為取兩次對數(shù)，這樣就可以將指數(shù)部分放下，便于后續(xù)數(shù)據(jù)處理。變形方式很多，筆者采用相對簡便的一種進行變換。

 

 

7、利用最小二乘法求解線性回歸方程中的A和B

 

利用上面的雙對數(shù)式，中位秩算法，可以連列出表1的矩陣方程組，利用最小二乘法可以方便計算出A,B的值。此處只列出A，B算法，不對最小二乘法做探討，有興趣讀者可參考其它資料。

 

 

8、本案例求解

 

本案例中，產(chǎn)品個數(shù)一共為201(即n=201),表1中已列明，時間t以天為單位，失效序列也列明，可以方便求出對應的不可靠度，由于產(chǎn)品出貨即應用，沒有“無失效的貨架期”，故此例中位置參數(shù)。下面筆者通過上述方法，用電子表格的方式對形狀參數(shù)β、尺度參數(shù)η進行求解,詳見表2。（篇幅考慮，截圖部分數(shù)據(jù)示例）

 

 

9、產(chǎn)品壽命指標估計

 

根據(jù)上述求解出來的形狀參數(shù)（β=1.98687816）和尺度參數(shù)（η=756.5491009），不可靠度函數(shù)可寫成：

 

 

產(chǎn)品工作到756天左右，即特征壽命時，約有63.2%會產(chǎn)生故障，此產(chǎn)品的使用MTBF(MTTF)約為756天；B10壽命，F(xiàn)(t)=0.1,反解出t，可方便求出B10約為242天；同理可計算出，B20約為354天，B50約為628天等等。

 

四、結束語

 

對威布爾分布的研究目的是為了評估產(chǎn)品各種壽命指標，用戶可以根據(jù)自己產(chǎn)品的試驗數(shù)據(jù)、現(xiàn)場使用數(shù)據(jù)、返修數(shù)據(jù)等歸納自己產(chǎn)品的故障類型，不同故障的時間序列，利用威布爾分布對其進行耦合，從而科學的得到在現(xiàn)有水平下，某類產(chǎn)品的故障產(chǎn)生概率大小，及早制定維修、保障計劃，節(jié)約公司成本，同時對于反映出的重點問題，可以進行識別從而加以改進。利用這種數(shù)據(jù)處理手段同樣可以將試驗及現(xiàn)場數(shù)據(jù)進行分析，得到更好更符合實際的試驗方案。

 

對于本文討論的威布爾分布壽命分析，通過工程化的實用算法為產(chǎn)品解決數(shù)據(jù)評估問題，但其中并未涉及置信區(qū)間的討論，因為威布爾分布的置信區(qū)間討論的方法很多（例如極大似然估計、矩估計等等），也比較復雜，本文出于方便工程實踐角度，不予討論。但這并不影響對此數(shù)據(jù)的采納與使用，例如上述的壽命指標可以人為規(guī)定一個5%-10%的波動區(qū)間，這也是符合實際需要的。