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我們最早接觸到剛度這個(gè)概念，應(yīng)該是在學(xué)習(xí)彈簧這個(gè)物理構(gòu)件的時(shí)候，彈簧的剛度k 定義于彈簧受力F 與其變形δ 的比值。在簡(jiǎn)單的情形下，我們認(rèn)為彈簧剛度k 是一個(gè)常量，而楊氏模量E 則最早出現(xiàn)在材料力學(xué)當(dāng)中，定義為應(yīng)力與應(yīng)變的比值（一維情況下）。

 

更廣義的來說，剛度可以推廣為某種結(jié)構(gòu)針對(duì)某種變形的抵抗能力，而且不同的定義下剛度的量綱也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變。譬如在梁理論里面，我們可以定義梁的抗彎強(qiáng)度，可以定義桿件的抗扭強(qiáng)度（注意這個(gè)量綱是力矩/弧度）等等。在有限元或者結(jié)構(gòu)力學(xué)里面，我們所組裝的整體剛度矩陣的某個(gè)元素的含義，就是某結(jié)點(diǎn)在某個(gè)自由度方向下移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度所需要的力。

 

那我們來研究一下這個(gè)問題。比如，一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)，模量為E，橫截面積為A 的桿, 其剛度為多少？

 

很簡(jiǎn)單，我們只需要計(jì)算在變形δ 下，所需要的力F 的值。

 

先求應(yīng)變

 

 

然后求得應(yīng)力

 

 

然后施加在桿上的力就可以求得

 

 

從而，剛度k 就可以得到

 

 

到此我們得到一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論，在材料力學(xué)基礎(chǔ)上定義的桿，可以等價(jià)成一個(gè)類似彈簧的東西。也就是我們把應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，轉(zhuǎn)變成了力-位移關(guān)系。

 

那么，我們開始想這樣一個(gè)問題。假設(shè)我們有一個(gè)長(zhǎng)度L 的一維桿, 這個(gè)桿由兩根長(zhǎng)度為L(zhǎng)/2的桿粘結(jié)而成，兩個(gè)桿材料 (E, A) 相同，粘結(jié)處可承受的最大應(yīng)力（也就是強(qiáng)度）為σ 0。我們應(yīng)該如何建模來模擬這個(gè)一維桿在受軸向拉伸時(shí)候的力學(xué)響應(yīng)呢？

 

理想情況下，粘結(jié)位置的厚度為0。厚度為0 的一種東西有一個(gè)及其麻煩的地方——沒辦法計(jì)算應(yīng)變。應(yīng)變是一種變形比例的量度，厚度為0 即意味著比例是不存在的。那么，既然應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不可行，就思考力-位移關(guān)系。這里，我們可以通過粘結(jié)處的強(qiáng)度計(jì)算這個(gè)位置可最大承受的拉力

 

 

由于這是一維桿，這也是整個(gè)桿能承受的最大拉力。

 

此外，我們還感興趣的是能量，也就是需要做多少功才能把這個(gè)粘結(jié)處拉斷。通常，我們會(huì)定義斷裂韌性GI （fracture toughness，牛/米的量綱）來度量單位面積斷裂所需要做的功。這樣，我們就可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的線性模型來模擬桿的力位移曲線：

 

初始階段為線彈性，直到拉力達(dá)到最大值；

 

當(dāng)拉力達(dá)到最大值之后，隨著變形的增大，拉力減小，也就是進(jìn)入軟化階段；

 

拉力降低到0，整個(gè)力-位移曲線的面積為GI A。

 

問題到這里似乎解決的挺好的了，但在有限元里面我們應(yīng)該如何處理這個(gè)厚度為0的一個(gè)準(zhǔn)彈簧的單元呢？

 

在實(shí)體單元里面，我們采用Gaussian積分點(diǎn)，在積分點(diǎn)上我們計(jì)算應(yīng)變（包括增量應(yīng)變），然后返回應(yīng)力和模量；再在單元內(nèi)通過對(duì)積分點(diǎn)信息的積分，計(jì)算單元內(nèi)力以及單元?jiǎng)偠染仃?。但這個(gè)并不適用于這個(gè)問題，我們希望的是這個(gè)單元有這樣一個(gè)性質(zhì)：

 

單元允許在某個(gè)維度方向上厚度為0；

 

單元積分點(diǎn)的傳入信息是在這個(gè)不連續(xù)面上的位移的跳躍值 (displacement jump)，而傳出的信息是在當(dāng)前這個(gè)跳躍值附近的剛度。

 

這種單元也就是所謂的cohesive zone element，相對(duì)應(yīng)的材料則是cohesive zone model。這種單元的特性如下：

 

建模和劃分網(wǎng)格的時(shí)候采用double-node技術(shù)，也就是將cohesive surface上的結(jié)點(diǎn)做一個(gè)簡(jiǎn)單的復(fù)制，然后鏈接成擁有初始厚度為0的cohesive zone element （注意這種單元其實(shí)并不一定要求初始厚度為0）；

 

單元采用Newton-Cotes積分方法（至于為什么不用Gaussian積分方法，大家可以做做研究，因?yàn)檫@個(gè)原因至今還未完全解決）；

 

單元傳入的是位移的跳躍值，返回的是這個(gè)積分點(diǎn)上的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/span>

 

為了方便，cohesive zone model會(huì)定義一個(gè)彈性剛度范圍，也就是當(dāng)位移跳躍小于某個(gè)值的時(shí)候，我們認(rèn)為這個(gè)單元還是處于彈性階段。但這個(gè)假設(shè)會(huì)從某種角度產(chǎn)生一定的誤差，例如從之前的一維桿說起，實(shí)體部分的剛度為

 

 

cohesive element 的彈性階段剛度為

 

 

那么，我們可以通過彈簧的串聯(lián)公式計(jì)算整個(gè)桿的等效剛度為

 

 

不過我們也可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)充分大的時(shí)候，不等式兩端的誤差會(huì)充分小。因此，我們?cè)谟胏ohesive zone element 的時(shí)候，會(huì)將其彈性剛度設(shè)置的充分大，讓其不會(huì)去影響整個(gè)結(jié)構(gòu)在彈性階段的響應(yīng)。其本質(zhì)還是應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和力-位移關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化時(shí)候的概念問題，簡(jiǎn)單來說就是一個(gè)厚度為0應(yīng)變不存在的單元，就不應(yīng)該對(duì)結(jié)構(gòu)的線性響應(yīng)產(chǎn)生任何貢獻(xiàn)。