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材料力學(xué)的研究對象為細(xì)長結(jié)構(gòu)，其幾何特征在一個方向上的尺寸遠(yuǎn)大于另外兩個方向，如方柱、圓柱、多邊形柱、長桿、梁、軸等，都屬于材料力學(xué)的研究對象。細(xì)長結(jié)構(gòu)是大自然中存在最為廣泛的結(jié)構(gòu)之一，也是人類最早認(rèn)識和使用的典型結(jié)構(gòu)之一。

 

在人類早期的工具中有許多屬于細(xì)長結(jié)構(gòu)，如棍棒、骨針（圖1(a)）以及石刀、石斧、石矛的把等，許多復(fù)雜結(jié)構(gòu)也多利用細(xì)長結(jié)構(gòu)搭建而成。早在農(nóng)業(yè)文明早期，人們已經(jīng)學(xué)會利用樹枝搭建帳篷，一般用幾根樹枝搭成穹窿，周圍抹上泥土或搭上獸皮、樹葉等成為人類最早的建筑（圖1(b)）。因此，與細(xì)長結(jié)構(gòu)相關(guān)的力學(xué)問題也最先被提出來，成為典型的力學(xué)結(jié)構(gòu)，在工程中得到了廣泛的應(yīng)用。

 

 

圖1

 

在材料力學(xué)中，根據(jù)細(xì)長結(jié)構(gòu)的受力特點，可認(rèn)為材料力學(xué)只研究桿、軸、梁三類典型結(jié)構(gòu)。桿是指承受軸向拉力或壓力的構(gòu)件，軸是指承受扭矩的構(gòu)件，梁是指承受彎矩（一般情況下還有剪力）的構(gòu)件。材料力學(xué)中，桿、軸、梁的概念雖然來源于工程，但并不等同于工程中的概念。

 

例如，本來承受軸向壓力的“柱”，如果發(fā)生傾斜后，其在內(nèi)力上將會產(chǎn)生彎矩，此時的柱就兼有了“梁”的受力特征；又如承載火車車廂的車軸，當(dāng)其不做動力軸時，在車廂重力作用下，軸發(fā)生彎曲，在力學(xué)上也具有“梁”的受力特征。可見，材料力學(xué)中的桿、軸、梁實際上是依據(jù)細(xì)長結(jié)構(gòu)的內(nèi)力特征而提出的力學(xué)模型，它們并不等同于工程概念中的桿、軸、梁。

 

必須注意到，材料力學(xué)主要以細(xì)長結(jié)構(gòu)為研究對象，以細(xì)長結(jié)構(gòu)的內(nèi)力為研究手段，以細(xì)長結(jié)構(gòu)的強度、剛度、穩(wěn)定性為研究目標(biāo)。但也應(yīng)注意到，工程中除了細(xì)長結(jié)構(gòu)，還有許多結(jié)構(gòu)不是細(xì)長結(jié)構(gòu)，如樓板、儲氣罐、大壩、隧道，乃至更加復(fù)雜的異形結(jié)構(gòu)，對于這些非細(xì)長結(jié)構(gòu)應(yīng)該如何確保它們的服役安全呢？這些問題的解決就促成了彈性力學(xué)對材料力學(xué)的批判和繼承。

 

首先，彈性力學(xué)批判了材料力學(xué)只能研究和分析細(xì)長結(jié)構(gòu)的不足。彈性力學(xué)以微元體為研究對象，微元體以彈性體中的任意點為基準(zhǔn)，在空間維度上沿x、y、z 三個方向分別延伸三個微量△x，△y，△z，形成六面體微元，如圖2所示。顯然，利用微元體可以搭建出任意形狀的工程構(gòu)件。只要求出微元體的應(yīng)力、變形量，再令三個微量△x，△y，△z 都趨近于0的時候，微元體上的應(yīng)力、變形量就成了該點處的應(yīng)力和變形，依據(jù)這些應(yīng)力和變形就可以確保彈性體在特定載荷和變形狀態(tài)下的服役安全。因此，彈性力學(xué)以微元體為研究，就為工程問題提供了一種底層思維模式，通過微元體，解決任意結(jié)構(gòu)形式受力和變形問題。

 

 

圖2

 

其次，彈性力學(xué)對材料力學(xué)的批判還體現(xiàn)了基本概念上，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移、外力等。雖然這些概念在材料力學(xué)中學(xué)習(xí)過，但彈性力學(xué)擴展了這些定義的內(nèi)涵，以下依次說明。

 

1. 應(yīng)力在材料力學(xué)中定義為單位面積上的內(nèi)力，如圖3所示。

 

 

圖3

 

圖中，pα表示任意截面上的全應(yīng)力，可分解為垂直于截面的正應(yīng)力σ 和平行于截面的剪應(yīng)力τ，設(shè)Aα 為任意斜面的面積，則全應(yīng)力可通過下式求得

 

 

這個公式看起來很像壓強的公式，事實上，應(yīng)力的概念就是歐拉 (Leonhard Euler, 1707-1783) 于1752年借用流體壓強的概念來理解固體材料內(nèi)部壓力而提出來的。后來，柯西 (Augustin Louis Cauchy, 1789-1857) 考慮材料內(nèi)部的應(yīng)力分布并非均勻分布，在歐拉應(yīng)力概念的基礎(chǔ)上給出新的應(yīng)力定義，現(xiàn)在成為了彈性力學(xué)中的應(yīng)力定義。如圖4所示，設(shè)P 點是的彈性體內(nèi)部一點，過P 點做一個微面，設(shè)其面積為△S，當(dāng)該微面上所受的力為△P，則該截面上的全應(yīng)力p 可定義為

 

 

 

圖4

 

更進(jìn)一步，柯西所考慮的微面是任意方向的微面。如圖5所示，以P 點為基準(zhǔn)，在x、y、z 方向上分別產(chǎn)生增量△x、△y、△z，連接ABC組成的任意微面，當(dāng)△x、△y、△z 均趨近于0時，△S 也趨近于0，就可以通過上式求得過P 點任意截面上的應(yīng)力分量。

 

 

圖5

 

2. 在材料力學(xué)中的線應(yīng)變ε 也被定義為桿件結(jié)構(gòu)上單位長度的改變量，用以衡量桿件的變形能力，其表達(dá)式如下

 

 

其中，l 表示線段的原始長度，△l 表示桿件在變形后的長度改變量。此外，材料力學(xué)還將剪應(yīng)變γ 定義為構(gòu)件上任意兩個成直角的微段，在變形過程中角度的改變量，如原來是直角減小了α，則剪應(yīng)變（也稱為切應(yīng)變）被定義為

 

 

并且定義當(dāng)角度減小時，剪應(yīng)變?yōu)檎?；而?dāng)角度增大時，剪應(yīng)變?yōu)樨?fù)。彈性力學(xué)中更強調(diào)每一點處的應(yīng)變，選擇任意點P，以P 點為基準(zhǔn)，在x、y、z 方向上分別取微段△x=PA，△y=PB，△z=PC，如圖6所示，該點處的變形可由該點處三個方向的線段變形εx、εy、εz 以及三個剪應(yīng)變γxy、γyz、γzx 共6個應(yīng)變分量。線應(yīng)變分別表示微線段PA、PB 和PC 趨近于0時，它們各自的改變量△l 與原長△x 的比值，以εx為例，表示為

 

 

剪應(yīng)變分別表示∠APB、∠BPC、∠APC 在變形過程中的減小量，規(guī)定角度增加則表示剪應(yīng)變?yōu)樨?fù)。

 

 

圖6

 

3. 材料力學(xué)里講到構(gòu)件位移時，主要介紹桿件拉伸作用下截面的伸長、壓縮位移，圓桿扭轉(zhuǎn)時截面之間發(fā)生的相對轉(zhuǎn)動，以及梁彎曲時截面繞中性軸的轉(zhuǎn)角和撓曲線，這些位移描述都是選取了桿件結(jié)構(gòu)特征幾何量，如桿件截面、代表梁中性層的軸線等。

 

在彈性力學(xué)中，結(jié)構(gòu)的變形不再從特定的幾何形狀上分析，而是直接確定彈性體上每一點的位移。當(dāng)然，確定了每一點的位移自然可以確定構(gòu)件上幾何特征量的變形特點。因此，在彈性力學(xué)中位移指彈性體上每一點的位移，空間一點的位移通常可表示為x、y、z 三個方向上的位移分量，分別用u、v、w 來表示，共三個位移分量。如果只研究平面問題，只需要考慮x、y 兩個方向的位移u 和v。

 

4. 材料力學(xué)中的外力一般被區(qū)分為集中力、分布力，是按照載荷的分布形式來區(qū)分的。在彈性力學(xué)中，外力被分為面力和體力兩種，這是按照載荷的作用位置加以區(qū)分的。當(dāng)外力作用在物體表面時，則稱之為面力，如手推動物體時的推力以及放置在桌面上物體受到桌面的支撐力等。需要注意的是，彈性力學(xué)中面力也強調(diào)每一點處所受到的力，定義面力時，先在物體表面任選一點，以該點為基準(zhǔn)取一個微面△S，設(shè)該微面上所受的力為△F，面力用圖片表示，其定義為

 

 

上述定義的面力為任意方向，可向坐標(biāo)方向投影后，其分量標(biāo)記為圖片、圖片、圖片。由上式可以看出，面力的定義十分類似于應(yīng)力，只是應(yīng)力是物體內(nèi)部相互之間的作用，面力是物體表面其它物體對它所施加的作用。還應(yīng)注意，力的單位是N，從上式可以看出，面力的單位為N/㎡，所以，面力并不是力，而是力在某一點的分布集度。這是一個更一般化的定義，它表明面力作用都是分布力，集中力實際上是不存在的，只是力的作用面積遠(yuǎn)小于物體表面時的一種近似。

 

當(dāng)外力可以作用物體上任意一點，無論該點是物體內(nèi)部的點還是物體表面的點，這樣的外力被稱為體力，常見的體力如重力、由加速度產(chǎn)生的慣性力、電磁力等。定義體力時，先在物體上任選一點，以該點為基準(zhǔn)選取一微小體積△V，設(shè)該微小體積上所受的力為△F，將體力用f 表示，其定義為

 

 

可見，體力也不是力，它的單位是N/m³，體力乘以體積后才是力。

 

再次，彈性力學(xué)中，對于剪應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定不同于材料力學(xué)。材料力學(xué)中，剪應(yīng)力規(guī)定使微元體順時針旋轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力為正，而將使微元體發(fā)生逆時針旋轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力規(guī)定為負(fù)，如圖7所示。

 

 

圖7

 

彈性力學(xué)希望構(gòu)建一套只依賴于坐標(biāo)，而不依賴于具體觀察者位置的理論體系。為了說明彈性力學(xué)中應(yīng)力分量的符號規(guī)定，畫出如圖8所示的六面體微元，做如下規(guī)定：

 

考察六面體六個微面，定義外法線方向與坐標(biāo)軸正向一致的微面為正坐標(biāo)面，外法線方向與坐標(biāo)軸正向相反的微面為負(fù)坐標(biāo)面；

 

無論正應(yīng)力還是剪應(yīng)力，做如下統(tǒng)一規(guī)定：在正坐標(biāo)面上，若應(yīng)力分量與坐標(biāo)軸正方向一致為正，否則為負(fù)；負(fù)坐標(biāo)面上，應(yīng)力分量與坐標(biāo)軸正向相反為正，否則為負(fù)。

 

如圖8，實線所示的應(yīng)力分量均在正坐標(biāo)面上，因此它們的正方向都與坐標(biāo)正方向一致；而虛線所示的應(yīng)力分量均在負(fù)坐標(biāo)面上，因此它們的正方向都與坐標(biāo)正方向相反。在彈性力學(xué)中，應(yīng)力分量的方向始終為正方向。這樣，在求得的應(yīng)力為正時，說明真實應(yīng)力方向與畫出的方向一致；當(dāng)求得的應(yīng)力為負(fù)時，說明真實應(yīng)力方向與畫出的方向相反。根據(jù)定義，彈性力學(xué)中正應(yīng)力與材料力學(xué)中正應(yīng)力方向相同，依然是拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；但剪應(yīng)力則與材料力學(xué)中的相反。

 

 

圖8

 

應(yīng)力分量的下標(biāo)按照如下規(guī)則標(biāo)記：第一個下標(biāo)為該應(yīng)力分量所在的微面外法線方向，第二個下標(biāo)為應(yīng)力分量的作用方向。如σzz，表示其所在平面外法線與z 軸平行，同時該應(yīng)力方向也與z 軸平行。如τzx，則表示其所在平面外法線與z 軸平行，應(yīng)力方向與x 軸平行，如果是τzx，則恰好相反。在多數(shù)情況下，當(dāng)兩個下標(biāo)相同時，只寫出一個，如σ 也是σzz。

 

此外，在材料力學(xué)中存在著許多從實驗現(xiàn)象總結(jié)出來的經(jīng)驗結(jié)論，由于缺乏嚴(yán)格的證明，這些結(jié)論最多只能稱為“假說”。如平面假設(shè)，認(rèn)為梁在發(fā)生彎曲時，梁的每個截面只繞其中性軸發(fā)生一定角度的旋轉(zhuǎn)，而平面內(nèi)的點沒有垂直于該平面的位移，在彈性力學(xué)中，可以從數(shù)學(xué)角度嚴(yán)格證明平面假設(shè)成立的前提條件。再例如，材料力學(xué)提到結(jié)構(gòu)中開圓孔時，會引起應(yīng)力集中，我們也將在彈性力學(xué)中看到，這樣的應(yīng)力集中可以利用數(shù)學(xué)進(jìn)行精確求解，并給出應(yīng)力集中的程度。

 

當(dāng)然，彈性力學(xué)也繼承了材料力學(xué)的工程目標(biāo)，即確保工程結(jié)構(gòu)的強度、剛度、穩(wěn)定性。在材料力學(xué)中，強度問題主要通過細(xì)長結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力、應(yīng)變來分析，剛度問題主要通過變形來分析，穩(wěn)定性問題主要關(guān)心壓桿失穩(wěn)的臨界載荷。相對應(yīng)的，彈性力學(xué)借助于微元體，可以求出彈性體任意點的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，那么，這些解對應(yīng)于材料力學(xué)的工程目標(biāo)，應(yīng)力、應(yīng)變解可用于分析彈性體的強度問題，應(yīng)變和位移可以分析彈性體的剛度問題，應(yīng)力可以分析彈性體的穩(wěn)定性問題，也就是說彈性力學(xué)與材料力學(xué)具有相同的工程目標(biāo)。

 

參考文獻(xiàn)：

 

Mechanics of solids - Continuum plasticitytheory | Britannica.

 

https://www.britannica.com/science/mechanics-of-solids/Continuum-plasticity-theory

 

徐芝綸. 彈性力學(xué)（第5版）.高等教育出版社. 2016.3

 

馬宏偉,張偉偉. 工程力學(xué)十講. 高等教育出版社.220.9