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一、內(nèi)力的概念

 

1. 定義

 

內(nèi)力，是指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間相互作用力（附加內(nèi)力）。桿件所受到外界施加的力稱為外力。

 

如圖所示為任意一個物體，它是由無窮多的微粒組成的，構(gòu)件內(nèi)任意相鄰兩個微粒之間存在著相互作用力，作用力的大小與微粒之間的相對位置有關(guān)系。當(dāng)物體受到外力作用后，物體發(fā)生變形，其內(nèi)部微粒之間的相對位置發(fā)生改變，它們之間的相互作用力隨之發(fā)生改變。我們把這個由外力作用而產(chǎn)生的作用力的改變量稱為附加內(nèi)力，簡稱為內(nèi)力。

 

2. 內(nèi)力的求法——截面法

 

顯然內(nèi)力在構(gòu)件的內(nèi)部，想要求解內(nèi)力，只有讓內(nèi)力暴露出來，這樣根據(jù)需要求解內(nèi)力的截面位置，我們采用截面法。假想地把該截面截開，原構(gòu)件是平衡的，截開后的任意一部分也是平衡的，即截面兩側(cè)的任意一部分在外力及截面上的內(nèi)力作用下處于平衡狀態(tài)。因此，可以取截面的任意一側(cè)，研究其平衡條件，建立平衡方程，求解該截面上的內(nèi)力。具體截面求解步驟如下。

 

假想截開：在所求內(nèi)力的截面處（一般是橫截面），假想地用截面將桿件一分為二。

 

 

代替：任意取一部分，其舍棄部分對留下部分的作用，用作用在截面上相應(yīng)的內(nèi)力（力或力偶）代替。

 

 

平衡：對留下的部分建立平衡方程，根據(jù)其上已知外力來計(jì)算桿在截開面上的未知內(nèi)力（此時，截開面上的內(nèi)力對所保留部分而言是外力）。根據(jù)均勻性連續(xù)性的基本假設(shè)，截開后的截面上應(yīng)該是連續(xù)分布著一任意力，截面上各點(diǎn)處都有內(nèi)力，而空間任意力系的平衡條件只有六個，我們求解不出所有各點(diǎn)的內(nèi)力。根據(jù)力系的簡化，我們把這個內(nèi)力的任意力系向截面的一點(diǎn)簡化，通常向截面的形心簡化，得到一個主矢一個主矩，如下圖所示。

 

 

以截面形心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖x軸垂直于橫截面，即沿桿的軸線方向，y、z軸在截面面內(nèi)。把主矢向三個坐標(biāo)軸分解可得三個分量：沿著x軸的軸力，沿著y軸和z軸的剪力。

 

 

把主矩向三個坐標(biāo)軸分解可得三個分量：沿著x軸的扭矩，沿著y軸和z軸的彎矩。

 

 

我們把這六個分量也稱為內(nèi)力，但是要注意這六個分量是內(nèi)力的合力或合力矩。在后面求解桿件的內(nèi)力，就是求軸力、剪力、扭矩和彎矩，因?yàn)檫@幾個內(nèi)力分別對應(yīng)著桿件的基本變形：拉伸和壓縮變形、剪切變形、扭轉(zhuǎn)變形、彎曲變形。

 

二、應(yīng)力的概念

 

應(yīng)力是內(nèi)力的分布集度（應(yīng)力是針對某“點(diǎn)”而言的，我們要描述一點(diǎn)的應(yīng)力時，應(yīng)該指出這個點(diǎn)的位置及過這個點(diǎn)的平面的方位），為了描述截面上一點(diǎn)的應(yīng)力，圍繞該點(diǎn)取一個微面積DA，如圖。在這個微面積上內(nèi)力系的合力為DF，由于這個面積足夠小，我們假設(shè)其內(nèi)力為均勻分布，則可得到其平均應(yīng)力，再取平均應(yīng)力的極限，可得到該點(diǎn)的總應(yīng)力或全應(yīng)力，總應(yīng)力的方向隨著所取點(diǎn)的位置的變化而變化，顯然總應(yīng)力是矢量，其方向與截面的關(guān)系是任意的。我們再把總應(yīng)力分解成兩個分量，一個是垂直于截面稱為正應(yīng)力，一個與截面相切稱為切應(yīng)力。

 

 

平均應(yīng)力

 

 

全應(yīng)力（總應(yīng)力）

 

 

全應(yīng)力分解為：垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力”，位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“切應(yīng)力”。

 

 

應(yīng)力的單位：Pa，通常用：MPa、GPa。

 

 

三、位移、變形和應(yīng)變

 

1. 位移

 

變形前后物體內(nèi)一點(diǎn)位置的變化，在材料力學(xué)中的位移有線位移和角位移，如下圖所示懸臂梁，在自由端施加一集中力，梁發(fā)生彎曲變形。如果考察某一截面的位移，如自由端的位移，顯然截面的形心會產(chǎn)生一個向下的位移，產(chǎn)生了線位移，同時截面的法線方向也產(chǎn)生了變化，即截面發(fā)生了轉(zhuǎn)動，產(chǎn)生角位移。

 

 

2. 變形

 

在外力作用下物體尺寸和形狀發(fā)生改變。

 

3. 應(yīng)變

 

度量構(gòu)件一點(diǎn)處的變形程度，應(yīng)變也是針對某“點(diǎn)”而言的。

 

(1) 線應(yīng)變（度量物體內(nèi)一點(diǎn)尺寸的改變程度）。

 

如圖我們考察構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)A，在A點(diǎn)附件取任意點(diǎn)B，AB的長為Dx，在外力作用下構(gòu)件發(fā)生變形，A、B兩點(diǎn)均產(chǎn)生位移到新的位置，則兩點(diǎn)之間的距離變成了Dx+Ds，設(shè)在Dx范圍內(nèi)其變形是均勻的，可得平均線應(yīng)變

 

 

我們對上式取極限，可得到A點(diǎn)的線應(yīng)變

 

 

對于平面問題，如圖所示一個小矩形，在外力作用線變成虛線所示的矩形（尺寸發(fā)生變化），設(shè)在Dx，Dy范圍內(nèi)變形是均勻的則有沿x，y方向的平均線應(yīng)變。

 

 

分別取極限得到x、y方向的線應(yīng)變

 

 

(2) 角應(yīng)變（度量物體內(nèi)一點(diǎn)形狀的改變程度）也稱剪應(yīng)變或切應(yīng)變。

 

定義為直角的改變量。

 

 

如圖ab與bc邊互相垂直，變形后為虛線所示，則其角應(yīng)變?yōu)?/span>

 

 

其嚴(yán)格的表達(dá)式為

 

 

（a）圖所示角應(yīng)變?yōu)榱悖óa(chǎn)生了剛體位移，沒有發(fā)生變形）；（b）圖所示角應(yīng)變?yōu)閍