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     橫力彎曲的梁橫截面上既有彎矩又有剪力，所以橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。下面，討論幾種常見截面梁的彎曲切應(yīng)力。

 

矩形截面

 

     從發(fā)生橫力彎曲的梁上截取長(zhǎng)度為dx的微段，該段梁上沒(méi)有載荷作用，微段兩側(cè)截面上的剪力相等，但方向相反。右側(cè)截面上的彎矩相對(duì)左側(cè)截面有增量，因?yàn)閺澗夭坏龋蚨鴥山孛嫔系恼龖?yīng)力也不相同。

 

 

     對(duì)于狹長(zhǎng)矩形截面，由于梁的側(cè)面上無(wú)切應(yīng)力，根據(jù)切應(yīng)力互等定理，截面上兩側(cè)邊各點(diǎn)處的切應(yīng)力與邊界相切，即與邊界平行，梁發(fā)生對(duì)稱彎曲，對(duì)稱軸y軸上的切應(yīng)力一定沿著y方向，在狹長(zhǎng)截面上切應(yīng)力沿寬度方向變化不大。

 

     于是，關(guān)于橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律，作以下假設(shè)：

 

橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力的方向都平行于剪力；

 

切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即與中性軸平行的橫線上各點(diǎn)的切應(yīng)力大小相等。

 

      截面高寬比大于2的情況下，以上述假定為基礎(chǔ)得到的解與彈性理論的精確解相比，有足夠的精確度。

 

 

      根據(jù)切應(yīng)力互等定理，橫截面垂直的縱向截面上應(yīng)存在與橫截面上大小相等的切應(yīng)力。沿矩中性軸距離y 的縱向面把微段截開，取縱向面下側(cè)微元，受力如圖所示。

 

 

     左側(cè)截面上正應(yīng)力的合力為

 

 

     右側(cè)截面上正應(yīng)力的合力為

 

 

      顯然這兩個(gè)合力大小不等，縱向截面上必存在一個(gè)沿軸向的力使微段保持平衡，這個(gè)力為切應(yīng)力的合力，這也證明了縱向截面上存在切應(yīng)力，由于dx是小量，則設(shè)縱向面的切應(yīng)力均勻分布

 

 

      根據(jù)平衡條件

 

 

      即

 

 

     其中

 

 

     由切應(yīng)力互等定理及剪力與彎矩之間的微分關(guān)系

 

 

     可得

 

 

     其中：b為截面上矩中性軸為y的橫線的寬度，對(duì)于矩形截面為常數(shù)；Iz為整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；Sz*為橫截面上矩中性軸為y的橫線以外部分的面積對(duì)中性軸的靜矩；Fs為橫截面上的剪力。

 

     其中

 

 

     代入切應(yīng)力計(jì)算公式

 

 

     切應(yīng)力沿截面高度為拋物線分布，當(dāng)y=0時(shí)，即中性軸處有截面上的最大切應(yīng)力

 

 

     角應(yīng)變?yōu)?/span>

 

 

      可見角應(yīng)變大小沿截面高度也為拋物線分布，此時(shí)橫力彎曲時(shí)橫截面翹曲形狀如下圖，驗(yàn)證了橫力彎曲變形不滿足平面假設(shè)。

 

 

      剪力不變的橫力彎曲，相鄰橫截面上的切應(yīng)力相同，翹曲程度也相同，縱向纖維的長(zhǎng)度不因截面翹曲而改變，因此不會(huì)引起附加的正應(yīng)力。若剪力隨截面位置而變化，相鄰兩截面上的翹曲程度不同，在截面上引起附加的正應(yīng)力。

 

      對(duì)于其他形狀的對(duì)稱截面，均可按上述的推導(dǎo)方法，求得切應(yīng)力的近似解。對(duì)于矩形截面，在應(yīng)力計(jì)算公式中截面寬度b為常數(shù)，而中性軸一側(cè)的半個(gè)橫截面面積對(duì)中性軸的靜矩最大，所以中性軸上各點(diǎn)處的切應(yīng)力為最大。

 

      對(duì)于其他形狀的對(duì)稱截面，橫截面上的最大切應(yīng)力通常也均發(fā)生在中性軸上的各點(diǎn)處，只有寬度在中性軸處顯著增大的截面（如十字形截面）或某些變寬度的截面（如等腰三角形截面）等除外。因此，下面對(duì)于工字形、環(huán)形和圓形截面梁，主要討論其中性軸上各點(diǎn)處的最大切應(yīng)力。

 

圓截面

 

 

      由切應(yīng)力互等定理，在圓截面邊緣上各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向與圓周相切。而在對(duì)稱軸的各點(diǎn)處，由對(duì)稱性其切應(yīng)力必沿y方向。因此，切應(yīng)力分布規(guī)律可以假設(shè)為：

 

沿距中性軸為y 的寬度上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均匯交于對(duì)稱軸一點(diǎn)；

 

沿寬度各點(diǎn)處切應(yīng)力沿y 方向的分量相等。

 

     圓截面的最大切應(yīng)力仍在中性軸上。由于在中性軸兩端處切應(yīng)力的方向均與圓周相切，且與外力作用方向平行，故中性軸上各點(diǎn)處的切應(yīng)力方向均與外力平行，且數(shù)值相等。最大切應(yīng)力為

 

 

工字形截面

 

 

      工字形形截面屬于開口薄壁截面，且應(yīng)力分布如圖，沿壁厚切應(yīng)力大小相等，稱為切應(yīng)力流，流向沿著剪力的方向（與水流一樣，沿著剪力方向，從上游流向下游）。翼緣上平行于y軸的切應(yīng)力分量是次要的，忽略不計(jì)，主要是與翼緣長(zhǎng)邊平行的切應(yīng)力分量。腹板上的切應(yīng)力為拋物線分布，應(yīng)力大小如圖所示，其最大切應(yīng)力在中性軸處。

 

      如果是工字形型鋼，最大切應(yīng)力

 

 

   其中，b 為腹板的厚度，Iz/S*zmax可以查型鋼表得到。

 

      如果是三個(gè)狹長(zhǎng)矩形組成的工字形截面，可求得腹板上的最大和最小切應(yīng)力分別是

 

 

     從以上兩式看出，腹板的寬度遠(yuǎn)小于翼緣的寬度，因此腹板上的最大切應(yīng)力與最小切應(yīng)力實(shí)際上相差不大。所以，可以認(rèn)為在腹板上切應(yīng)力大致是呈均勻分布的。腹板上的切應(yīng)力合力占到總剪力的95-97%，橫截面上的剪力絕大部分由腹板所負(fù)擔(dān)。既然腹板幾乎負(fù)擔(dān)了截面上的全部剪力，而且腹板上的切應(yīng)力又接近于均勻分布，則最大切應(yīng)力可以用腹極的截面面積除剪力近似計(jì)算最大切應(yīng)力

 

 

     同時(shí)，工字梁翼緣的全部面積都在離中性軸最遠(yuǎn)處，每一點(diǎn)的正應(yīng)力都比較大，所以翼緣負(fù)擔(dān)了截面上的大部分彎矩。

 

薄壁環(huán)形截面

 

     薄壁環(huán)形截面，厚度為d，環(huán)的平均半徑為r，厚度遠(yuǎn)小于平均半徑，故可假設(shè)：

 

橫截面上切應(yīng)力的大小沿壁厚大小相等；

 

切應(yīng)力的方向與截面中線相切，切應(yīng)力流方向沿著剪力方向。

 

 

     最大切應(yīng)力位于中性軸

 

 

    式中，A 為環(huán)形截面的面積。

 

梁的強(qiáng)度條件

 

     彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：

 

關(guān)于中性軸對(duì)稱的截面，其最大拉正應(yīng)力和最大壓正應(yīng)力相等，常用塑性材料，其強(qiáng)度條件

 

 

關(guān)于中性軸不對(duì)稱的截面，其最大拉正應(yīng)力和最大壓正應(yīng)力不相等，常用脆性材料，其強(qiáng)度條件

 

 

     彎曲切應(yīng)力的強(qiáng)度條件是

 

 

提高梁彎曲強(qiáng)度的措施

 

      彎曲正應(yīng)力是控制梁的主要因素。所以彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件，往往是設(shè)計(jì)梁的主要依據(jù)。

 

 

      從強(qiáng)度條件出發(fā)，要提高梁的承載能力應(yīng)從兩方面考慮，一方面是合理安排梁的受力情況，降低最大彎矩值；另一方面則是采用合理的截面形狀，提高截面的抗彎截面系數(shù)，充分利用材料的性能。

 

1. 合理安排梁的受力情況

 

      改善梁的受力情況，盡量降低梁內(nèi)的最大彎矩。

 

 

      如圖所示受均布載荷的梁，當(dāng)把支座從梁的兩端位置向里移動(dòng)一段距離后，梁上的最大彎矩大大減小。如門式起重機(jī)的大梁、柱形容器等，其支撐點(diǎn)略向中間移動(dòng)，都可以取得降低最大彎矩值的效果。

 

2. 梁的合理截面

 

      抗彎截面系數(shù)越大，則應(yīng)力越小，梁的承載能力越高。

 

 

      如受豎直方向載荷作用的梁，把截面豎放時(shí)的抗彎截面系數(shù)較大，豎放比平放更為合理。

 

      在提高截面的抗彎截面系數(shù)的同時(shí)，還希望用較少的材料，達(dá)到較好的經(jīng)濟(jì)性。因此，一般用抗彎截面系數(shù)與截面面積的比值衡量截面設(shè)計(jì)的合理性。在相同截面面積的情況下，矩形截面（高度大于寬度）比圓形截面合理，而工字形截面或箱形截面比矩形截面合理。所以，為了充分利用材料，應(yīng)盡可能地把材料放置到離中性軸較遠(yuǎn)處。

 

      在討論截面的合理形狀時(shí)，還應(yīng)考慮到材料的特性。對(duì)抗拉和抗壓強(qiáng)度相同的材料（如低碳鋼），宜采用對(duì)中性軸對(duì)稱的截面，如圓形、矩形、工字形、箱形等。這樣可使截面上、下邊緣處的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力數(shù)值相等。

 

       對(duì)抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料（如鑄鐵、水泥等），宜采用中性軸偏向于受拉一側(cè)的截面形狀。

 

等強(qiáng)度梁的概念

 

     前面討論的梁都是等截面的，抗彎截面系數(shù)為常數(shù)，但通常情況下梁的各截面彎矩是隨截面的位置而變化的。等直梁的截面設(shè)計(jì)要根據(jù)最大彎矩處進(jìn)行，其最大應(yīng)力接近許用應(yīng)力，其余各截面上彎矩較小，應(yīng)力也就較小，材料沒(méi)有充分利用。為了節(jié)約材料，減輕自重，可改變截面尺寸，使抗彎截面系數(shù)隨彎矩而變化。在彎矩較大處采用較大截面，而在彎矩較小處采用較小截面。這種截面沿軸線變化的梁，稱為變截面梁。

 

     如變截面梁各橫截面上的最大正應(yīng)力都相等，且都等于許用應(yīng)力，稱為等強(qiáng)度梁。