用于因子篩選研究的設(shè)計(jì)
用于因子篩選研究的設(shè)計(jì)類型主要包括：完全析因設(shè)計(jì)，部分析因設(shè)計(jì)和Plackett-Burman設(shè)計(jì)。
完全析因設(shè)計(jì)
Fisher針對(duì)一次一因子實(shí)驗(yàn)法（OFAT）的缺點(diǎn)提出析因?qū)嶒?yàn)法，很簡(jiǎn)單，也很容易想到的一個(gè)設(shè)計(jì)就是將所有因子的所有水平的所有組合都至少進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)，這就是完全析因設(shè)計(jì)。
完全析因設(shè)計(jì)包含了所有的組合，因此，可以估計(jì)出所有的主效應(yīng)和所有的各階交互效應(yīng)。同時(shí)也以為完全析因設(shè)計(jì)包含了所有的組合，所需要的實(shí)驗(yàn)總次數(shù)也較多，所以，在因子個(gè)數(shù)不是太多（一般小于5），并且需要考慮交互效應(yīng)時(shí)，可以選擇完全析因設(shè)計(jì)。
基于完全析因設(shè)計(jì)的定義不難計(jì)算，k個(gè)因子，每個(gè)因子研究2個(gè)水平，則總實(shí)驗(yàn)數(shù)為2k。k個(gè)因子，每個(gè)因子研究3個(gè)水平，則總實(shí)驗(yàn)數(shù)為3k。完全析因設(shè)計(jì)的總實(shí)驗(yàn)數(shù)隨著因子個(gè)數(shù)，隨著因子水平數(shù)目的增長(zhǎng)而呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。
實(shí)踐證明，2水平的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)在實(shí)際應(yīng)用中已經(jīng)足夠，如果加上中心點(diǎn)，在一定程度上可以代替3水平的實(shí)驗(yàn)，而且分析時(shí)簡(jiǎn)明易行，現(xiàn)在已經(jīng)普遍使用。
我們一般將這種k個(gè)因子的2水平完全析因設(shè)計(jì)記為2k實(shí)驗(yàn)。實(shí)際應(yīng)用中，使用的完全析因設(shè)計(jì)則普遍為（2k+中心點(diǎn)）的設(shè)計(jì)方式。
根據(jù)2k完全析因設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)表，不難發(fā)現(xiàn)這種設(shè)計(jì)本質(zhì)上一種正交設(shè)計(jì)。我們后面會(huì)解釋這種正交設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)所在。
部分析因設(shè)計(jì)
完全析因設(shè)計(jì)，計(jì)算只進(jìn)行2水平的2k實(shí)驗(yàn)，我們也不難發(fā)現(xiàn)，總實(shí)驗(yàn)數(shù)隨著因子個(gè)數(shù)的增加而急劇增加。比如5個(gè)因子需要32次實(shí)驗(yàn)，6個(gè)因子則需要64次實(shí)驗(yàn)。
如果我們仔細(xì)的分析所獲的結(jié)果，建立的6因子回歸方程中，估計(jì)的主效應(yīng)項(xiàng)有6個(gè)，二階交互效應(yīng)項(xiàng)有15個(gè)，三階交互效應(yīng)項(xiàng)有20個(gè)……，除了主效應(yīng)，二階交互效應(yīng)項(xiàng)外，有42項(xiàng)是三階和三階以上的交互效應(yīng)項(xiàng)，這些效應(yīng)項(xiàng)我們一般認(rèn)為已經(jīng)沒(méi)有具體的物料意義。
所以，我們自然會(huì)提出一個(gè)問(wèn)題，能不能少做一些實(shí)驗(yàn)，但是又能估計(jì)出主效應(yīng)項(xiàng)和二階交互項(xiàng)呢？答案是可以的。部分析因設(shè)計(jì)就是這樣的設(shè)計(jì)類型。
我們?cè)谕耆鲆蛟O(shè)計(jì)的所有實(shí)驗(yàn)中選擇1/2，1/4甚至1/8部分等等實(shí)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行，大大減少了總實(shí)驗(yàn)次數(shù)。但是，任何“努力”的舍棄都要付出代價(jià)。部分析因設(shè)計(jì)的代價(jià)就是混淆。
由于總實(shí)驗(yàn)次數(shù)的減少，能夠估計(jì)的效應(yīng)項(xiàng)數(shù)目也會(huì)減少，這樣就造成了不同效應(yīng)項(xiàng)之間的混淆。在部分析因設(shè)計(jì)中，一些效應(yīng)項(xiàng)與其他效應(yīng)項(xiàng)已經(jīng)無(wú)法分開(kāi)，計(jì)算出來(lái)的效應(yīng)項(xiàng)是兩者的總和。只不過(guò)，如果發(fā)生混淆的是主效應(yīng)項(xiàng)和高階效應(yīng)項(xiàng)，沒(méi)有物理意義的高階效應(yīng)項(xiàng)可以忽略，那還可以認(rèn)為主效應(yīng)項(xiàng)是可估計(jì)的。能夠幫助我們估計(jì)主效應(yīng)項(xiàng)和二階交互項(xiàng)的部分析因設(shè)計(jì)依然是可以選擇使用的。
Plackett-Burman設(shè)計(jì)
Plackett-Burman設(shè)計(jì)是實(shí)驗(yàn)次數(shù)最少的另一類因子篩選研究所用的設(shè)計(jì)類型。一般如果實(shí)驗(yàn)經(jīng)費(fèi)特別昂貴，或者實(shí)驗(yàn)原料極其難以獲得，那么節(jié)省每一次實(shí)驗(yàn)都是有價(jià)值的。
Plackett-Burman設(shè)計(jì)也是一種正交設(shè)計(jì)，只不過(guò)此時(shí)總實(shí)驗(yàn)次數(shù)不是2k，而是4的整數(shù)倍。所以，Plackett-Burman設(shè)計(jì)就是所有恰為4的整數(shù)倍的n情況下給出的設(shè)計(jì)，比較有用的是n=12，20，24……的設(shè)計(jì)，常記為L(zhǎng)n。下圖是一個(gè)L12的Plackett-Burman設(shè)計(jì)表。
L12的Plackett-Burman設(shè)計(jì)，在12次實(shí)驗(yàn)中最多可安排11個(gè)因子，因此節(jié)省實(shí)驗(yàn)次數(shù)上還是很有優(yōu)勢(shì)的，但是致命的缺點(diǎn)是，這種設(shè)計(jì)的只能分析主效應(yīng)，因?yàn)橹餍?yīng)項(xiàng)與二階交互項(xiàng)是混淆的，如果存在顯著的二階交互項(xiàng)，則會(huì)導(dǎo)致主效應(yīng)項(xiàng)也不能得到準(zhǔn)確的分析。
Plackett-Burman設(shè)計(jì)只能用于因子篩選研究，不到萬(wàn)不得已，一般不采用此方法。
用于因子回歸研究的設(shè)計(jì)類型
用于因子回歸研究的設(shè)計(jì)類型主要包括：完全析因設(shè)計(jì)、中心復(fù)合設(shè)計(jì)和Box-Behnken設(shè)計(jì)。完全析因設(shè)計(jì)只能用于擬合線性模型，中心復(fù)合設(shè)計(jì)和Box-Behnken設(shè)計(jì)則可以用于擬合含有二次項(xiàng)的曲率模型。
完全析因設(shè)計(jì)
完全析因設(shè)計(jì)也可以用于因子回歸研究，即用于確定Y與X的關(guān)系式，找出Y對(duì)于X的回歸方程。完全析因設(shè)計(jì)只能擬合與Y與X的線性模型關(guān)系式，不過(guò)加了中心點(diǎn)的完全析因設(shè)計(jì)可以幫助判斷模型中的彎曲效應(yīng)是否顯著。
如果模型中的沒(méi)有彎曲的趨勢(shì)，那么線性回歸模型則已經(jīng)足夠，即無(wú)需再多做實(shí)驗(yàn)。但是如果發(fā)現(xiàn)模型中有彎曲的趨勢(shì)，那么最好的做法是擬合一個(gè)含有二次項(xiàng)的回歸方程，這時(shí)就需要在增加一些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)來(lái)解析模型的二次項(xiàng)，這就需要下面所介紹的響應(yīng)曲面方法了（中心復(fù)合設(shè)計(jì)或者Box-Behnken設(shè)計(jì)）。
關(guān)于完全析因設(shè)計(jì)的內(nèi)容在上面章節(jié)已經(jīng)介紹，這里就不再重復(fù)贅述了。
中心復(fù)合設(shè)計(jì)（Central Composite Design，CCD）
中心復(fù)合設(shè)計(jì)是在完全析因設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，通過(guò)增補(bǔ)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)來(lái)合成的。中心復(fù)合設(shè)計(jì)的整個(gè)實(shí)驗(yàn)由下面三部分的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)構(gòu)成（按照下面坐標(biāo)）：
（1）立方體點(diǎn)（Cube Point）或者角點(diǎn)（Corner Point），各點(diǎn)坐標(biāo)皆為1或者-1，這就是完全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)中的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)；共有2k個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)；
（2）中心點(diǎn)（Center Point），同完全析因設(shè)計(jì)，各點(diǎn)的坐標(biāo)皆為0；
（3）星號(hào)點(diǎn)（Star Point）或者軸點(diǎn)（Axial Point），需要增補(bǔ)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，除一個(gè)因子的坐標(biāo)為±α之外，其余因子的坐標(biāo)皆為0。共有2k個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)；
所以，中心復(fù)合設(shè)計(jì)的總實(shí)驗(yàn)數(shù)為（2k+2K+中心點(diǎn)）。
中心復(fù)合設(shè)計(jì)在完全析因設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行，如果因子水平不變，那么前面完全析因設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)就可以直接用中心復(fù)合設(shè)計(jì)上，而不需要再額外的重復(fù)完全析因設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)，這種能力利用前面實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的策略就是“序貫實(shí)驗(yàn)”策略。
根據(jù)星號(hào)點(diǎn)的α取值的不同，中心復(fù)合設(shè)計(jì)又可分為中心復(fù)合序貫設(shè)計(jì)（Central CompositeCircumscribed Design，CCC），中心復(fù)合表面設(shè)計(jì)（Central Composite Face-centeredDesign，CCF）和中心復(fù)合有界設(shè)計(jì)（Central Composite Inscribed Design，CCI）。后續(xù)我們會(huì)介紹這三種CCD設(shè)計(jì)的區(qū)別和不同。
Box-Behnken設(shè)計(jì)
Box-Behnken設(shè)計(jì)是另外一種響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)，它是將所有的因子的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)設(shè)計(jì)安排在棱的中點(diǎn)上。三因子的Box-Behnken設(shè)計(jì)如下圖。
Box-Behnken設(shè)計(jì)的總實(shí)驗(yàn)點(diǎn)數(shù)要比CCD少。Box-Behnken設(shè)計(jì)最適合的是在立方體角點(diǎn)（所有因子高水平或者低水平的組合）無(wú)法獲得響應(yīng)數(shù)據(jù)時(shí)。
不過(guò)，Box-Behnken設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)是失去了序貫性，前面完全析因設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)無(wú)法利用，而后續(xù)的Box-Behnken設(shè)計(jì)也無(wú)法使用前面的Box-Behnken設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，也就是每批次的實(shí)驗(yàn)都需要重新做。
因此，除非有特別情況（角點(diǎn)數(shù)據(jù)無(wú)法獲得），或者極端重視實(shí)驗(yàn)次數(shù)時(shí)，否則通常不會(huì)優(yōu)先選擇Box-Behnken設(shè)計(jì)。
用于穩(wěn)健性研究的設(shè)計(jì)類型
用于穩(wěn)健性研究的設(shè)計(jì)，一般也稱為穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)（Robust Parameter Design），它是通過(guò)選擇可控因子的水平組合來(lái)減少一個(gè)系統(tǒng)或者過(guò)程對(duì)噪音變化的敏感性，從而達(dá)到減少系統(tǒng)波動(dòng)的目的。
大家都知道，輸入變量（因子）有兩類：可控因子和噪聲因子。響應(yīng)變量會(huì)受到兩類因子的影響。如何才能減少響應(yīng)變量的誤差呢？很自然的想法是減少噪聲的誤差，但是這通常需要付出較高的經(jīng)濟(jì)代價(jià)。
穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)則是另外一種更好的策略選擇。這種策略是通過(guò)探索可控因子與噪聲因子間的交互作用，從而用改變可控因子的水平組合的辦法來(lái)減少響應(yīng)變量的誤差，因?yàn)榭煽匾蜃痈菀赘淖?，這種方法更經(jīng)濟(jì)，更方便。
如果可控因子本身會(huì)受到噪音的影響而發(fā)生波動(dòng)，那么響應(yīng)變量與這個(gè)可控因子的關(guān)系則是非線性的，那么我們就可以選擇斜率較小的平坦區(qū)域從而使響應(yīng)變量的誤差減小。這種方法本質(zhì)是通過(guò)選擇參數(shù)的最佳設(shè)置來(lái)尋求減小響應(yīng)變量的誤差，因此被稱為參數(shù)設(shè)計(jì)。
使用乘積表進(jìn)行位置-散度建模的方法是目前最通用的做法。
乘積包括內(nèi)表和外表兩部分。內(nèi)表（InterArray）是為了考察可控各因子的不同水平搭配的效果，是用來(lái)安排可控因子的，通常用全因子設(shè)計(jì)或者部分因子設(shè)計(jì)進(jìn)行，也稱為控制表（Control Array）。
外表（Outer Array）是未來(lái)考察噪聲因子的效應(yīng)，要對(duì)內(nèi)表中的每個(gè)實(shí)驗(yàn)條件安排一個(gè)噪聲表（Noise Array）。這樣做，相當(dāng)于內(nèi)表中的每個(gè)水平組合與噪聲表中的所有組合相乘構(gòu)成一個(gè)乘積表（直積表），也稱為內(nèi)外表（Inter-outer Array）。
如果內(nèi)表和外表的實(shí)驗(yàn)次數(shù)分別為n1和n2，那么乘積表的總實(shí)驗(yàn)次數(shù)為n=n1*n2
用于混料研究的設(shè)計(jì)類型
在生物藥物工藝開(kāi)發(fā)中，有時(shí)候需要研究一些配方配比的問(wèn)題，比如培養(yǎng)基配方，一般由多種成分按照相應(yīng)的比率制作而成，混料中所有的成分或者分量之和總是為1，這種類型的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)稱為混料設(shè)計(jì)，p個(gè)因子的混料設(shè)計(jì)一般稱為p維混料設(shè)計(jì)。
混料設(shè)計(jì)根據(jù)實(shí)驗(yàn)區(qū)域內(nèi)選點(diǎn)方法的不同，可以分為單純形質(zhì)心法設(shè)計(jì)、單純形格點(diǎn)法設(shè)計(jì)和極端頂點(diǎn)法設(shè)計(jì)。
單純形質(zhì)心法
在p個(gè)因子的混料設(shè)計(jì)問(wèn)題中，單純形質(zhì)心法的基本思想是：實(shí)驗(yàn)點(diǎn)由下列p批點(diǎn)組成。
第一批：各個(gè)頂點(diǎn)，共p個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)；
第二批：每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)的質(zhì)心，共（p（p-1）/2）個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)；
第三批：每三個(gè)頂點(diǎn)的質(zhì)心，共（p（P-1）(p-2）/3!)個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)；
……總之，p批點(diǎn)共計(jì)有2p-1個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。
單純形格點(diǎn)法
以平面三角形坐標(biāo)系來(lái)說(shuō)，等邊三角形的每一遍分為相等的d段，過(guò)這些分點(diǎn)做平行于三角形底邊的線，就可以形成三線坐標(biāo)的格點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，這里的d稱為個(gè)格度。單純形格點(diǎn)法的基本思想就是講全部格子點(diǎn)集內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)依次選中，來(lái)作為實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。
因此，單純形格點(diǎn)法中的格子點(diǎn)是由維數(shù)和格度兩個(gè)參數(shù)給定的，此格子點(diǎn)集記為{p，d}。d=1，可以擬合線性方程；d=2，可以擬合二次方程；d=3，可以擬合三次方程；所以，通常到格度為3就足夠了。
極端頂點(diǎn)法
在很多實(shí)際的混料設(shè)計(jì)問(wèn)題中，各個(gè)分量常常要受到上下界的限制，各分量之間還有一些約束條件需要滿足，對(duì)這類問(wèn)題有一種簡(jiǎn)便的方法，即極端頂點(diǎn)設(shè)計(jì)法。各個(gè)限制平面的交點(diǎn)處稱為極端頂點(diǎn)。
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