2k完全析因設(shè)計(jì)相對于一次一因子法（OFAT），不但能夠提供更多的實(shí)驗(yàn)信息，同時實(shí)驗(yàn)數(shù)目也已經(jīng)大大降低。但是，實(shí)驗(yàn)數(shù)目降低的還是不夠，尤其是當(dāng)因子個數(shù)增加時。比如，24完全析因設(shè)計(jì)需要16次實(shí)驗(yàn)，而26完全析因就需要64次實(shí)驗(yàn)，這已經(jīng)超出了大多數(shù)可執(zhí)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù)數(shù)目了。
如果我們仔細(xì)的分析所獲的結(jié)果，建立的6因子回歸方程中，估計(jì)的主效應(yīng)項(xiàng)有6個，二階交互效應(yīng)項(xiàng)有15個，三階交互效應(yīng)項(xiàng)有20個……，除了主效應(yīng)，二階交互效應(yīng)項(xiàng)外，有42項(xiàng)是三階和三階以上的交互效應(yīng)項(xiàng)，這些效應(yīng)項(xiàng)我們一般認(rèn)為已經(jīng)沒有具體的物料意義。
所以，我們自然會提出一個問題，能不能少做一些實(shí)驗(yàn)，但是又能估計(jì)出主效應(yīng)項(xiàng)和二階交互項(xiàng)呢？
答案是當(dāng)然是可以的。部分析因設(shè)計(jì)就是這樣的設(shè)計(jì)類型。
部分析因設(shè)計(jì)的實(shí)施原理
下面我們用一個案例來介紹部分析因設(shè)計(jì)的實(shí)施原理。
我們首先設(shè)計(jì)一個24完全析因設(shè)計(jì)，然后列出這個完全析因設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)序以及所能估計(jì)的效應(yīng)項(xiàng)。
根據(jù)上面的表，我們可以看出24完全析因設(shè)計(jì)是可以估計(jì)出所有的主效應(yīng)項(xiàng)，二階交互效應(yīng)項(xiàng)，以及所有的三階和四階交互效應(yīng)項(xiàng)。
那么，有哪些方法可以刪掉一些實(shí)驗(yàn)，所獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)還可以估計(jì)出主效應(yīng)項(xiàng)和二階交互項(xiàng)呢？當(dāng)然三階和四階交互效應(yīng)項(xiàng)可以適當(dāng)?shù)牟挥杩紤]。
其中一個較好的做法是將估計(jì)四階交互效應(yīng)項(xiàng)（ABCD）中的所有ABCD取“-1”的實(shí)驗(yàn)行刪掉，只保留所有取“1”的8行實(shí)驗(yàn)。這樣做可以保證剩余的8行實(shí)驗(yàn)中，A，B，C，D這四列中仍保持了正交性，依然具有“均衡分散，整齊可比”的性質(zhì)，可以較容易的計(jì)算回歸方程。
不過，仔細(xì)的觀察剩余的8行實(shí)驗(yàn)來估計(jì)的各項(xiàng)效應(yīng)的表，我們發(fā)現(xiàn)除去全為“1”的ABCD列以外，其余14列中，每一列都有與之成對的另一列是完全相同的，比如D與ABC列完全相同，AB與CD列完全相同。完全相同的兩列，在進(jìn)行回歸分析時，計(jì)算出來的效應(yīng)或者回歸方程系數(shù)是完全相同的，也就是這兩列的效應(yīng)發(fā)生了“混淆（Confounding）”，也可以說這兩列互為別名。
是否可以選別的條件作為刪去8行實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)呢？比如，選BCD所有取“1”的8行實(shí)驗(yàn)保留，但是這時發(fā)生混淆的是D與BC列，顯然不如D與ABC列發(fā)生混淆要好一些。經(jīng)過所有的比較，可知ABCD取“1”的這種安排方法是所有安排中效果最好的。
混淆總是不好的，那能否不產(chǎn)生混淆呢？答案是：如果選擇部分析因設(shè)計(jì)，混淆是不可避免的。我們能做的只是希望混淆安排的更合理一些，也就是盡量讓我們感興趣的主效應(yīng)和交互效應(yīng)項(xiàng)與更高階的交互效應(yīng)項(xiàng)發(fā)生混淆。在默認(rèn)高階交互效應(yīng)項(xiàng)忽略不計(jì)的時，就可以很好的估計(jì)感興趣的主效應(yīng)項(xiàng)和二階交互效應(yīng)項(xiàng)了。
部分析因設(shè)計(jì)的描述
前面的例子中，我們只保留了ABCD取“1”的8行實(shí)驗(yàn)，也就是令A(yù)BCD=1，稱為“定義關(guān)系（Defining Relation）”，簡稱“字”。我們讓D與ABC列發(fā)生混淆，則稱D=ABC為“生成元（Generator）”。一旦定義關(guān)系和生成元確定了，那么這個部分析因設(shè)計(jì)就確定了。
當(dāng)然，我們可以在上面部分析因設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上繼續(xù)刪減實(shí)驗(yàn)，比如，26完全析因設(shè)計(jì)需要進(jìn)行64次實(shí)驗(yàn)，如果我們做兩次刪減，將實(shí)驗(yàn)次數(shù)刪減至16次。那么，合理的做法是什么呢？
實(shí)踐顯示，我們選擇定義關(guān)系：ABCE=ABDF=CDEF=1是最優(yōu)的方案，因此此時，E=ABC，F(xiàn)=ABD等，沒有任何主效應(yīng)與二階交互效應(yīng)發(fā)生混淆，只有部分二階交互效應(yīng)內(nèi)部的混淆，比如AB=CE。
如果我們選擇另外一種定義關(guān)系：ABCDF=BCDE=AEF=1，那么此時發(fā)生混淆的是A=EF，E=AF，主效應(yīng)項(xiàng)與二階交互效應(yīng)項(xiàng)發(fā)生混淆，與上面相比，這并不是最優(yōu)的方案。
由此可見，當(dāng)刪減的實(shí)驗(yàn)數(shù)目增減，“定義關(guān)系”個總個數(shù)也會增加，“生成元”則也會發(fā)生變化。不同的定義關(guān)系會造成不同的混淆情況，為了更好的解釋部分析因設(shè)計(jì)中這種定義關(guān)系與混淆之間的關(guān)系，提出了分辨度的概念。
分辨度是指所有的定義關(guān)系中最短的那個字的長度，比如ABCDF=BCDE=AEF=1，最短的是AEF，則分辨度為III；ABCE=ABDF=CDEF=1，最短的都是四個字母，因此分辨度為IV。一般：
分辨度為III的部分析因設(shè)計(jì)：主效應(yīng)項(xiàng)之間沒有混淆，主效應(yīng)項(xiàng)與二階交互效應(yīng)項(xiàng)之間混淆；
分辨度為IV的部分析因設(shè)計(jì)：主效應(yīng)項(xiàng)之間沒有混淆，主效應(yīng)項(xiàng)與三階交互效應(yīng)項(xiàng)之間混淆，二階交互效應(yīng)項(xiàng)之間部分發(fā)生混淆；
分辨度為V的部分析因設(shè)計(jì)：主效應(yīng)項(xiàng)之間沒有混淆，主效應(yīng)項(xiàng)與四階交互效應(yīng)項(xiàng)之間混淆，二階交互效應(yīng)項(xiàng)與三階交互效應(yīng)項(xiàng)之間混淆；
以此類推，可見如果默認(rèn)三階及三階以上的交互效應(yīng)項(xiàng)的效應(yīng)可以忽略不計(jì)，那么分辨度為V的設(shè)計(jì)就已經(jīng)足夠估計(jì)主效應(yīng)項(xiàng)和所有的二階交互效應(yīng)項(xiàng)了。常規(guī)的做法是部分析因設(shè)計(jì)中，至少要選擇分辨度為IV或以上的設(shè)計(jì)類型。
那么，又該如何確定因子數(shù)，實(shí)驗(yàn)數(shù)目與分辨度的關(guān)系呢？就算確定了實(shí)驗(yàn)數(shù)目，又該如何確定定義關(guān)系與生成元呢？
上面這個表給出了不同的因子個數(shù)，實(shí)驗(yàn)總次數(shù)以及分辨度之間的關(guān)系，可以根據(jù)此表來確定給定因子數(shù)目下獲得一定分辨度的實(shí)驗(yàn)總次數(shù)。至于定義關(guān)系和生成元的選擇，DoE軟件會給出默認(rèn)的最優(yōu)方案。除非設(shè)計(jì)者有特別的要求，由DoE軟件給出的設(shè)計(jì)通常是最合理的。
部分析因設(shè)計(jì)的計(jì)劃
與完全析因設(shè)計(jì)不同，部分析因設(shè)計(jì)的計(jì)劃制定階段需要確定試驗(yàn)總次數(shù)和分辨度，以及確定定義關(guān)系和生成元。有兩種方法，一種是DoE軟件默認(rèn)定義關(guān)系和生成元，一種是指定定義關(guān)系和生成元。
默認(rèn)定義關(guān)系和生成元的部分析因設(shè)計(jì)
在Minitab軟件中選擇“統(tǒng)計(jì)>DoE>因子>創(chuàng)建因子設(shè)計(jì)”，先在下拉菜單中選擇因子數(shù)，點(diǎn)擊“顯示可用設(shè)計(jì)”，根據(jù)分辨度的要求，確定所需要做的實(shí)驗(yàn)總次數(shù)。打開“設(shè)計(jì)”，選擇確定實(shí)驗(yàn)總次數(shù)的設(shè)計(jì)類型，設(shè)定中心點(diǎn)數(shù)目。打開“因子”和“選項(xiàng)”，設(shè)定方法與完全析因設(shè)計(jì)相同，點(diǎn)擊確定，即可完成部分析因設(shè)計(jì)，得到實(shí)驗(yàn)計(jì)劃表。
與完全析因不同的是，部分析因設(shè)計(jì)會同時給出設(shè)計(jì)生成元和別名結(jié)結(jié)構(gòu)，也就是混淆情況。我們需要判定想要研究或者感興趣的效應(yīng)項(xiàng)之間是否發(fā)生了混淆，如果沒有，那么這個部分析因設(shè)計(jì)就可以使用，進(jìn)入實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的執(zhí)行和分析階段。
指定定義關(guān)系和生成元的部分析因設(shè)計(jì)
如果萬一出現(xiàn)我們感興趣的效應(yīng)項(xiàng)之間在部分析因設(shè)計(jì)中出現(xiàn)了混淆，那該如何處理呢？辦法有兩個：（1）將因子名稱互相交換就有可能自動解決；（2）自行指定設(shè)計(jì)定義關(guān)系和生成元。
舉個例子，設(shè)計(jì)6個因子的部分析因設(shè)計(jì)，希望能夠考察所有的主效應(yīng)項(xiàng)和二階交互效應(yīng)項(xiàng)AB，AC，CE和DE是否顯著？那么，該如何設(shè)計(jì)這個部分析因設(shè)計(jì)呢？
我們在解代數(shù)方程時，所用到的“移項(xiàng)法則”在設(shè)計(jì)生成元時同樣有效。由上面條件可以推出，我們希望在所設(shè)計(jì)的部分析因?qū)嶒?yàn)中，AB≠CE，AB≠DE，AC≠DE，移項(xiàng)之后可變形為，E≠ABC，E≠ABD，E≠ACD，如果只做16次實(shí)驗(yàn)，也就是設(shè)計(jì)A，B，C，D四個因子的設(shè)計(jì)中三階交互項(xiàng)只有四個，ABC，ABD，ACD個BCD，其中三個不能使用，那么只能選擇E=BCD。條件中對F沒有要求，所以，F(xiàn)可以任意選擇，比如F=ABC。
在Minitab軟件中選擇“統(tǒng)計(jì)>DoE>因子>創(chuàng)建因子設(shè)計(jì)”，選擇“兩水平因子（指定生成元）”在下拉菜單中選擇因子數(shù)，點(diǎn)擊“設(shè)計(jì)”，選擇“全因子”，在“生成元”選項(xiàng)中，填寫生成元：E=BCD F=ABC，其余“因子”和“選項(xiàng)”設(shè)定同前面。點(diǎn)擊確定，即可得到設(shè)計(jì)效果。
可以看出，別名結(jié)構(gòu)（混淆情況）中，AB，AC，CE和DE之間互不為別名，也就是沒有混淆，達(dá)到了我們的設(shè)計(jì)要求。
部分析因設(shè)計(jì)的分析
部分析因設(shè)計(jì)的分析與完全析因設(shè)計(jì)相同，也是按照七大步驟的方法順序進(jìn)行。
唯一不同的地方是，如果選擇的是分辨度為IV的部分析因設(shè)計(jì)，在各效應(yīng)項(xiàng)顯著性檢驗(yàn)時，如果分析結(jié)果中如果出現(xiàn)某些二階交互效應(yīng)顯著時，不能僅從表面上的結(jié)果來決定取舍，要仔細(xì)分析混淆的結(jié)構(gòu)，查看別名結(jié)構(gòu)表中，此顯著效應(yīng)項(xiàng)與那些效應(yīng)項(xiàng)是混淆的，再根據(jù)背景材料予以判斷，最終決定誰來入選。
如果不能通過背景材料來判斷，可能就需要通過進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)來區(qū)分這些混淆的交互效應(yīng)了。
京公網(wǎng)安備11010802046783號
