我們用完全析因設(shè)計(jì)和部分析因設(shè)計(jì)擬合的都是線性回歸方程，但是，如果發(fā)現(xiàn)有彎曲的趨勢(shì)，那就需要去擬合一個(gè)含有二次項(xiàng)的回歸方程。
要估計(jì)這些二次項(xiàng)的系數(shù)，原來的因子設(shè)計(jì)所安排的設(shè)計(jì)點(diǎn)就不夠用了，需要再增補(bǔ)一些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。這種先后分兩階段完成全部實(shí)驗(yàn)的策略稱為“序貫實(shí)驗(yàn)”策略。適用于這種策略的方法有很多，其中最常用的就是中心復(fù)合設(shè)計(jì)（Central Composite Design，CCD）。
中心復(fù)合設(shè)計(jì)（CCD）
下面是一個(gè)3因子的中心復(fù)合設(shè)計(jì)的示意圖。
整個(gè)實(shí)驗(yàn)由三部分的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)構(gòu)成：
（1）角點(diǎn)，各點(diǎn)的坐標(biāo)皆為1或者-1，這是組成因子實(shí)驗(yàn)的部分；
（2）中心點(diǎn)，各點(diǎn)的坐標(biāo)均為0；
（3）星號(hào)點(diǎn)，也稱為軸點(diǎn)，除了一個(gè)自變量坐標(biāo)為±α外，其余自變量坐標(biāo)均為0。K個(gè)因子情況下，共有
2k個(gè)星號(hào)點(diǎn)；
關(guān)于中心復(fù)合設(shè)計(jì)，有三個(gè)問題需要討論：
A：因子設(shè)計(jì)的部分如何選擇？
在因子設(shè)計(jì)部分，通常選取完全析因設(shè)計(jì)的安排方法，只有當(dāng)因子個(gè)數(shù)大于5時(shí)才考慮部分析因設(shè)計(jì)，這時(shí)通常要求分辨率在V以上。
B：星號(hào)點(diǎn)如何選擇，即α的值如何確定？
關(guān)于α的選擇，主要的考慮點(diǎn)之一是旋轉(zhuǎn)性，即希望將來某點(diǎn)處的預(yù)測(cè)值的方差僅與該點(diǎn)到實(shí)驗(yàn)點(diǎn)中心的距離有關(guān)，而與其所在方位無關(guān)，也就是響應(yīng)變量的預(yù)測(cè)精度在以設(shè)計(jì)中心為球心的球面上是相同的，這時(shí)候α取值α = F1/4，其中，F(xiàn)為因子實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的總數(shù)。當(dāng)因子個(gè)數(shù)為k時(shí)，α = 2k/4，這種α取值是CCD設(shè)計(jì)最典型的方式，既可以滿足旋轉(zhuǎn)性，也可以實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的序貫性，這種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方式稱為中心復(fù)合序貫設(shè)計(jì)（Central Composite Circumscribed Design，CCC）。
如果希望進(jìn)行CCD實(shí)驗(yàn)，但是同時(shí)希望因子水平安排不超過立方體邊界，可以將星號(hào)點(diǎn)設(shè)置為α=±1，計(jì)算機(jī)會(huì)自動(dòng)將原來的CCD縮小到整個(gè)立方體內(nèi)，這種設(shè)計(jì)方式稱為中心復(fù)合有界設(shè)計(jì)（Central Composite Inscribed Design，CCI）。這種設(shè)計(jì)失去了序貫性，保留了旋轉(zhuǎn)性。
還有一種設(shè)計(jì)方式，就是α=1，這意味著星號(hào)點(diǎn)的位置在立方體的表面上，這種設(shè)計(jì)稱為中心復(fù)合表面設(shè)計(jì)（Central Composite Face-Centered Design，CCF）。這種設(shè)計(jì)方式保留了序貫性，失去了旋轉(zhuǎn)性。
C：中心點(diǎn)個(gè)數(shù)如何確定？
如果目的是想整個(gè)實(shí)驗(yàn)區(qū)域內(nèi)的預(yù)測(cè)值都有一致均勻的精度，那中心點(diǎn)的個(gè)數(shù)要足夠的多，可以按照下面這個(gè)表進(jìn)行。但是如果目的只是估計(jì)實(shí)驗(yàn)隨機(jī)誤差，那中心點(diǎn)個(gè)數(shù)選擇4個(gè)以上就可以了。
響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)的計(jì)劃
整個(gè)響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)的計(jì)劃應(yīng)包含兩個(gè)階段：求最優(yōu)實(shí)驗(yàn)區(qū)域；安排響應(yīng)曲面實(shí)驗(yàn)。
第一階段：用最速上升法尋找實(shí)驗(yàn)最優(yōu)區(qū)域
這一階段的目的是識(shí)別目前實(shí)驗(yàn)區(qū)域的狀況，究竟該區(qū)域已經(jīng)接近或者達(dá)到能使響應(yīng)變量達(dá)到最佳值的最優(yōu)區(qū)域，還是仍原理最優(yōu)區(qū)域？
我們以望大型問題為例來討論，通常響應(yīng)變量的極大值是在有曲面的彎曲的“山頂”部分，因此，我們首先要特別認(rèn)真的分析數(shù)據(jù)是否顯示了彎曲性，或者在數(shù)據(jù)擬合線性回歸方程時(shí)的ANOVA表中是否顯示了失擬現(xiàn)象。如果彎曲或者失擬不嚴(yán)重，則說明目前的實(shí)驗(yàn)區(qū)域仍是遠(yuǎn)離最優(yōu)區(qū)域，這時(shí)首要的任務(wù)是先沿著最陡峭的方向爬上去，當(dāng)可以肯定達(dá)到山頂區(qū)域時(shí)，再建立細(xì)致的曲面方程來描述其數(shù)學(xué)規(guī)律。
通常的做法是，沿著線性回歸方程的等值線垂直的方向作為“最速前進(jìn)方向”，邊沿著此方向前進(jìn)邊做實(shí)驗(yàn)，對(duì)每個(gè)選定的位置只做一次即可。若響應(yīng)變量的數(shù)值持續(xù)增加，則繼續(xù)前進(jìn)，直到響應(yīng)變量數(shù)值出現(xiàn)了下降的情況才停止。選定剛剛得到的最佳值之處作為新一批響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)的中心點(diǎn)，轉(zhuǎn)入第二階段，安排響應(yīng)曲面實(shí)驗(yàn)具體操作時(shí)，前進(jìn)步長(zhǎng)不要太大，第一步常以剛好抵達(dá)因子實(shí)驗(yàn)的邊界為最好，這時(shí)可以保證第一步邁出后其響應(yīng)變量值肯定是增加的。沿著該方向繼續(xù)前進(jìn)，每前進(jìn)一步都要進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)，如果獲得的響應(yīng)變量值繼續(xù)增大，則沿著該方向再前進(jìn)一步，直到獲得的響應(yīng)變量值開始減小，接下來我們就可以以此點(diǎn)為中心，在該區(qū)域上安排若干實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，盡量擬合一個(gè)二次曲面方程，這樣就可以找到最優(yōu)值了。這種方法被稱為“最速上升法”。
第二階段：在已確認(rèn)的最優(yōu)區(qū)域范圍內(nèi)，進(jìn)行相應(yīng)曲面實(shí)驗(yàn)
在Minitab中，選擇“統(tǒng)計(jì)>DoE>響應(yīng)曲面>創(chuàng)建響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)”，選擇中心復(fù)合設(shè)計(jì)（CCD）或者Box-Behnken設(shè)計(jì)，選定因子個(gè)數(shù)。
在“設(shè)計(jì)”對(duì)話框內(nèi)選定總實(shí)驗(yàn)次數(shù)，中心點(diǎn)實(shí)驗(yàn)次數(shù)以及α值。α值有三種選擇（1）默認(rèn)，這時(shí)計(jì)算機(jī)會(huì)按照因子個(gè)數(shù)，旋轉(zhuǎn)性和正交性的要求自動(dòng)求出α值；（2）選“表面中心（α=1）”，即安排中心復(fù)合表面設(shè)計(jì)（CCF）：（3）自定義α值。
在“因子”對(duì)話框內(nèi)設(shè)定各因子的實(shí)際水平。當(dāng)“水平定義”欄中選定“立方體點(diǎn)”時(shí)，表示這時(shí)設(shè)定的水平作為立方體點(diǎn)，也就是中心復(fù)合序貫設(shè)計(jì)（CCC），星號(hào)點(diǎn)會(huì)超出立方體。選定“軸點(diǎn)”時(shí)，表示這時(shí)設(shè)定的水平作為軸上的星號(hào)點(diǎn)，也就是中心復(fù)合有界設(shè)計(jì)（CCI），星號(hào)點(diǎn)會(huì)到達(dá)立方體的邊界而不超出，立方體點(diǎn)會(huì)向內(nèi)收縮。
在“選項(xiàng)”對(duì)話框內(nèi)選擇“隨機(jī)化運(yùn)行順序”，軟件會(huì)輸出隨機(jī)化的運(yùn)行順序，如果不選擇，則輸出標(biāo)準(zhǔn)化的安排方法。標(biāo)準(zhǔn)化順序中，開始部分為因子設(shè)計(jì)點(diǎn)（立方體點(diǎn)），中間部分為星號(hào)點(diǎn)，最后為中心點(diǎn)。
響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)的分析
響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)的分析方法與完全析因和部分析因設(shè)計(jì)相同，也是按照七大步驟的方法順序進(jìn)行。
最主要的區(qū)別在于其選擇的效應(yīng)項(xiàng)不同。響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)需要擬合二次曲面，效應(yīng)項(xiàng)的選擇中要比因子設(shè)計(jì)增加了各自變量的平方項(xiàng)。
除此之外，所有的分析均與完全析因設(shè)計(jì)相同。
Box-Behnken設(shè)計(jì)
響應(yīng)曲面的另一種設(shè)計(jì)方法就是Box-Behnken設(shè)計(jì)。這種設(shè)計(jì)安排是將因子各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)取在立方體的棱的重點(diǎn)上。3因子的Box-Behnken設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)取點(diǎn)示意圖如下：
這種設(shè)計(jì)所需要的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)數(shù)要比CCD要少，也具有近似的旋轉(zhuǎn)性，特別適合在立方體頂點(diǎn)無法獲得數(shù)據(jù)時(shí)使用。最大的缺點(diǎn)是設(shè)計(jì)沒有序貫性，上批進(jìn)行過的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)下批實(shí)驗(yàn)幾乎沒有用，每批實(shí)驗(yàn)都要重新做。
Box-Behnken設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)與分析
Box-Behnken設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)與分析與中心復(fù)合設(shè)計(jì)相同，也可以按照按照七大步驟的方法順序進(jìn)行?？蓞⒖纪耆鲆蛟O(shè)計(jì)。
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