本次筆記主要記錄學(xué)習(xí)的幾個(gè)因子設(shè)計(jì)的特殊案例，主要是無(wú)中心點(diǎn)的完全析因設(shè)計(jì)，包含離散變量的析因設(shè)計(jì)和包含區(qū)組的析因設(shè)計(jì)。
1. 無(wú)中心點(diǎn)的完全析因設(shè)計(jì)
雖然完全析因設(shè)計(jì)加中心點(diǎn)的方法非常有效，但是有些時(shí)候進(jìn)行中心點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)很困難或者很麻煩，不希望進(jìn)行中心點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)；有些時(shí)候?qū)嶒?yàn)中含有離散型因子，根本就沒(méi)有中心點(diǎn)，雖然可以考慮選擇使用偽中心點(diǎn)（即選擇離散型因子的任意組合作為中心點(diǎn)），但也可以選擇放棄偽中心點(diǎn)。
解決此問(wèn)題的方法之一是，可以在因子點(diǎn)上進(jìn)行仿行（也就是完全重復(fù)），這種解決方法的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，其分析與含有中心點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)完全相同。
案例-1：我們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)陰離子流穿模式純化單抗的案例，因子選擇樣品pH（pH），樣品電導(dǎo)（Cond）和上樣載量（LoMs），響應(yīng)則選擇為收率，設(shè)計(jì)一個(gè)3因子2水平的完全析因設(shè)計(jì)，但是不含有中心點(diǎn)，在角點(diǎn)上選擇仿行2次，即因子點(diǎn)完全重復(fù)。實(shí)驗(yàn)運(yùn)行表和結(jié)果如下：
不含中心點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析過(guò)程與（2K加中心點(diǎn)）的完全析因設(shè)計(jì)的分析過(guò)程完全相同。只不過(guò)，由于不含有中心點(diǎn)，在分析結(jié)果的時(shí)候無(wú)法估計(jì)出彎曲效應(yīng)，在誤差項(xiàng)中只包含失擬項(xiàng)和純誤差項(xiàng)。除此之外，得到的結(jié)果也完全相同，如下表的ANOVA表。
由于不能估計(jì)彎曲效應(yīng)，因此，在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)之前一定要考慮清楚。如果事先可以肯定不存在彎曲，那么不安排中心點(diǎn)則沒(méi)有任何問(wèn)題，如果不能肯定是否存在彎曲的話，還是建議安排中心點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)。其余的結(jié)果分析過(guò)程從略，可參考DoE學(xué)習(xí)筆記5：完全析因設(shè)計(jì)。
解決此問(wèn)題的方法之二是，直接省略中心點(diǎn)實(shí)驗(yàn)，以剩余的因子實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。先看案例，將案例-1中的8次重復(fù)實(shí)驗(yàn)去掉，只進(jìn)行其中的8次因子實(shí)驗(yàn)。
我們對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，擬合一個(gè)包含主效應(yīng)和二階交互效應(yīng)的全模型，得到的ANOVA分析表如下：
因?yàn)闆](méi)有中心點(diǎn)，所以誤差項(xiàng)中沒(méi)有彎曲的檢測(cè)，同樣，因?yàn)闆](méi)有完全重復(fù)實(shí)驗(yàn)，誤差項(xiàng)中也缺失了純誤差的項(xiàng)。現(xiàn)在ANOVA中的誤差項(xiàng)僅僅包含了失擬項(xiàng)（也就是舍棄的三階交互效應(yīng)）。以失擬項(xiàng)作為誤差對(duì)其他的效應(yīng)項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)。所以，該類(lèi)實(shí)驗(yàn)中是不可能存在失擬檢測(cè)的。
另外，如果模型中也包含三階交互效應(yīng)的話，那么該ANOVA中就無(wú)法再對(duì)各主效應(yīng)和交互效應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)，因?yàn)榇藭r(shí)已經(jīng)沒(méi)有了誤差項(xiàng)（大家可自行用軟件分析測(cè)試）。
相比解決方法1，這個(gè)方法雖然實(shí)驗(yàn)次數(shù)要少，但是在效應(yīng)的檢驗(yàn)上準(zhǔn)確率已經(jīng)大大降低，星辰君的個(gè)人建議，當(dāng)因子數(shù)比較多，能夠有較多的高階交互效應(yīng)存在時(shí)，可以嘗試該方法。因子數(shù)為2個(gè)或者3個(gè)時(shí)，最好的方法還是設(shè)置完全重復(fù)或者中心點(diǎn)完全重復(fù)。
2. 含有離散型因子的完全析因設(shè)計(jì)
前面所舉的例子中，所有的自變量全部為連續(xù)型的，但是實(shí)際的工作中也可能出現(xiàn)離散型因子，即離散型自變量的情況。
比如，我們將上述案例-1中的上樣載量改變?yōu)闃悠稟和樣品B，響應(yīng)變量依然為收率，設(shè)計(jì)4次中心點(diǎn)重復(fù)實(shí)驗(yàn)（樣品A和樣品B各兩次），實(shí)驗(yàn)運(yùn)行表和結(jié)果如下：
按照正常的完全析因設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)分析過(guò)程進(jìn)行分析。
我們依然可以進(jìn)行正常的ANOVA分析，并且可以判斷模型，失擬和完全是否顯著，還可以判定各項(xiàng)效應(yīng)和交互效應(yīng)是否顯著?？梢愿鶕?jù)ANOVA表的結(jié)果，將不顯著的效應(yīng)項(xiàng)在擬合回歸模型中予以刪除。
但是，含有離散變量的回歸方程的解讀與全部都是連續(xù)型變量的情況是不同的。雖然，DoE的分析也能給出一個(gè)回歸方程，但是卻不是精確的。含有離散變量回歸方程一定是分叉的，或者說(shuō)分情況的。
含離散變量的回歸方程，可以使用Minitab的回歸功能來(lái)獲得，“統(tǒng)計(jì)>回歸>回歸>擬合回歸模型”，上述案例擬合的回歸模型為：
其余的分析也類(lèi)似，可以得到離散變量取不同值的等值線圖。
3. 帶有區(qū)組的完全析因設(shè)計(jì)
如前面我們所述 在選擇因子的時(shí)候，總會(huì)有一些因子很大可能上會(huì)對(duì)響應(yīng)變量有著顯著性影響，但是目前階段我們對(duì)這些因子并不感興趣，比如研發(fā)早期細(xì)胞培養(yǎng)部門(mén)給過(guò)來(lái)的不同批次來(lái)料，不同廠家提供的層析填料等等。這一類(lèi)因子我們成為討厭因子。
如果我們的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中包含了這一類(lèi)的因子，在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)分析階段，如果不考慮這種討厭因子的效應(yīng)，那么實(shí)際的實(shí)驗(yàn)隨機(jī)誤差就會(huì)增大，在進(jìn)行ANOVA分析或者因子效應(yīng)顯著性檢驗(yàn)時(shí)，由于分母（誤差項(xiàng)）變大，而常常不能敏銳的發(fā)現(xiàn)已經(jīng)有顯著效應(yīng)的主效應(yīng)項(xiàng)或者交互效應(yīng)項(xiàng)。
解決方法是，我們可以利用區(qū)組將討厭因子的效應(yīng)分離出來(lái)，也就是：
SS誤差 = SS區(qū)組 + SS剩余誤差
把誤差項(xiàng)進(jìn)一步分解為“區(qū)組”部分和“剩余誤差”兩部分。在進(jìn)行ANOVA分析或者因子效應(yīng)顯著性檢驗(yàn)時(shí)，將分母限定為“剩余誤差”部分，這樣就可以敏銳的發(fā)現(xiàn)已經(jīng)有顯著效應(yīng)的主效應(yīng)項(xiàng)或者交互效應(yīng)項(xiàng)，提高實(shí)驗(yàn)的精度。
從上面的分解來(lái)看，這種含有區(qū)組的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，本質(zhì)上是將“區(qū)組”當(dāng)成了一個(gè)“因子”來(lái)處理了，但是它與普通的因子還是不一樣的，我們對(duì)研究因子的效應(yīng)時(shí)感興趣的，對(duì)區(qū)組的效應(yīng)則是不感興趣的，這也是為什么把它們稱(chēng)為討厭因子的原因。
我們依然以案例-1的變化為例，因子設(shè)置樣品pH，樣品Cond和上樣載量LoMs，同時(shí)因?yàn)橛袃膳蔚臉悠?，Sample A和Sample B，我們將樣品設(shè)置為兩個(gè)區(qū)組，設(shè)置4個(gè)中心點(diǎn)實(shí)驗(yàn)，每個(gè)區(qū)組含有兩個(gè)中心點(diǎn)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)表和結(jié)果如下：
對(duì)含有區(qū)組的因子設(shè)計(jì)進(jìn)行分析時(shí)，一定要在分析時(shí)將“區(qū)組”選為因子，即勾選“在模型中包含區(qū)組”的選項(xiàng)，得到的ANOVA如下：
可以看出，模型是顯著的，失擬是不顯著的，彎曲效應(yīng)是顯著的（這個(gè)需要后續(xù)繼續(xù)分析，包括殘差的診斷）。同時(shí)，也可以看到區(qū)組效應(yīng)是顯著的，即兩批次的樣品確實(shí)有顯著性差異。
對(duì)各效應(yīng)項(xiàng)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)依然pH*LoMs和Cond*LoMs是不顯著的?？梢栽诤罄m(xù)的模型構(gòu)建中予以刪除。
如果在模型中不包含區(qū)組呢？會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？
通過(guò)兩個(gè)ANOVA表對(duì)比，如果模型中不包含區(qū)組，pH*Cond也開(kāi)始變得不顯著，同時(shí)彎曲效應(yīng)檢測(cè)也不顯著了。這就是因?yàn)轱@著的“區(qū)組”效應(yīng)被添加到“純誤差”中，即誤差項(xiàng)中。檢驗(yàn)的分母增加，就是導(dǎo)致效應(yīng)的顯著性變得不敏感。
總之，將區(qū)組剝離，納入模型中，檢驗(yàn)因子效應(yīng)的估計(jì)精度大大提高。
如果區(qū)組效應(yīng)顯著，在構(gòu)建回歸方程時(shí)，可以按照包含離散變量的回歸方程構(gòu)建方式來(lái)進(jìn)行構(gòu)建，并進(jìn)行后續(xù)的分析。
區(qū)組顯著，是給我們的一個(gè)很大的警示，一定要思考為什么會(huì)有這樣的顯著差異？要盡量的去分析原因，以便對(duì)誤差進(jìn)行分析。如果實(shí)在找不出原因，只能承認(rèn)實(shí)驗(yàn)誤差太大，對(duì)預(yù)測(cè)時(shí)候的結(jié)果要有心理準(zhǔn)備，應(yīng)該以較大的波動(dòng)為前提進(jìn)行預(yù)測(cè)。
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