摘要 作為設(shè)備穩(wěn)定服役能力的一種衡量，可靠性對(duì)工程技術(shù)發(fā)展和創(chuàng)新十分重要。基于物理、信息論和統(tǒng)計(jì)方法的耦合，可靠性研究正逐步發(fā)展并有望成為一門(mén)新的科學(xué)。同時(shí)隨著量子技術(shù)的發(fā)展，量子相干器件及設(shè)備將會(huì)被大量地植入到傳統(tǒng)裝備系統(tǒng)中。這不僅給可靠性自身的研究帶來(lái)新的機(jī)遇和挑戰(zhàn)，也會(huì)使量子物理和可靠性研究交叉起來(lái)，導(dǎo)致交叉領(lǐng)域思想上的原始創(chuàng)新。文章首先介紹可靠性研究從工程向科學(xué)邁進(jìn)的歷程，然后從可靠性工程需求的視角介紹量子可靠性的基本概念和邏輯，強(qiáng)調(diào)量子自洽歷史對(duì)壽命統(tǒng)計(jì)的內(nèi)在描述，最后結(jié)合目前量子技術(shù)所面臨的退相干挑戰(zhàn)，展望可靠性工程對(duì)量子技術(shù)的潛在應(yīng)用。
關(guān)鍵詞 可靠性理論，浴盆曲線，最大熵原理，退相干歷史，量子可靠性
1、引 言
可靠性是工程技術(shù)領(lǐng)域中的重要概念，具體是指一個(gè)產(chǎn)品或設(shè)備在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，完成規(guī)定功能的能力。這一概念大約是在上世紀(jì)二三十年代提出的，幾乎與量子力學(xué)同時(shí)誕生并同步發(fā)展。一戰(zhàn)后，工業(yè)生產(chǎn)能力的迅猛增長(zhǎng)推動(dòng)全球經(jīng)濟(jì)的復(fù)蘇，同時(shí)也促進(jìn)了可靠性工程技術(shù)的不斷進(jìn)步。二戰(zhàn)期間，飛機(jī)等武器裝備開(kāi)始大量使用電子元件，受限于當(dāng)時(shí)的技術(shù)，電子元件工作十分不穩(wěn)定，電子設(shè)備的可靠性問(wèn)題十分突出，這促使此后美國(guó)有組織地開(kāi)展對(duì)電子設(shè)備的可靠性研究；另一方面，德國(guó)在火箭的研制中，首次引入從部件到系統(tǒng)的整體可靠性分析思路，即通過(guò)部件可靠性相乘累加的方式估計(jì)系統(tǒng)的可靠性。二戰(zhàn)結(jié)束后，可靠性在工程技術(shù)科學(xué)基礎(chǔ)研究方面引起了更多科學(xué)家的關(guān)注。例如，因?yàn)樵缙趩蝹€(gè)電子元件的可靠度普遍較低，無(wú)法組成足夠高可靠度的系統(tǒng)，著名數(shù)學(xué)家馮?諾伊曼(Von Neumann)為此提出了一個(gè)解決思路[1]：利用多個(gè)不那么可靠的組件，通過(guò)結(jié)構(gòu)冗余的方式組成可靠度較高的裝備系統(tǒng)[2]。該思路逐步發(fā)展形成了今天人們研究可靠性的一般邏輯方法[3]。自60年代起，以各國(guó)國(guó)家意志主導(dǎo)的重大工程(如載人航天、戰(zhàn)略武器研制和延壽等)極大推動(dòng)了相關(guān)可靠性理論和方法的發(fā)展。
時(shí)至今日，可靠性分析不僅逐步從工程技術(shù)走向科學(xué)研究，而且成為戰(zhàn)略裝備安全服役定量化決策的基礎(chǔ)。隨著可靠性分析方法在工程應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)揮重要作用，可靠性研究逐步得到完善并發(fā)展成為了一個(gè)獨(dú)特的研究領(lǐng)域。需要指出的是，由于很多人對(duì)可靠性的認(rèn)知還停留在服務(wù)于工程技術(shù)的應(yīng)用層面，最近關(guān)于可靠性工程是否成為一門(mén)新科學(xué)的問(wèn)題引起了學(xué)界的激烈爭(zhēng)論。爭(zhēng)論的焦點(diǎn)之一是關(guān)于描述部件或系統(tǒng)退化過(guò)程的浴盆曲線(它是可靠性工程核心概念中的一個(gè))能否從第一原理推導(dǎo)出來(lái)。在大多數(shù)系統(tǒng)中，系統(tǒng)的失效率曲線呈現(xiàn)浴盆狀，P. Rocchi認(rèn)為浴盆曲線是普適性的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，可靠性有可能發(fā)展成為一門(mén)新科學(xué)[4]。然而，存在一些不滿足浴盆曲線的例子，例如果蠅的死亡率是倒置浴盆曲線[5]。由于人們不能從原理出發(fā)推導(dǎo)出系統(tǒng)失效的浴盆曲線，這個(gè)爭(zhēng)論一直延續(xù)至今。
過(guò)去的可靠性研究大多是從工程實(shí)際需求出發(fā)，根據(jù)具體問(wèn)題進(jìn)行建模。要想將其提升為一門(mén)科學(xué)，則必須從原理出發(fā)，分析不同問(wèn)題之間的內(nèi)在邏輯和共性問(wèn)題，從基礎(chǔ)上形成一套統(tǒng)一的理論框架和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法。以上提到的研究基本上是從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度出發(fā)，唯象地探討浴盆曲線的由來(lái)。進(jìn)一步的研究有必要從物理相關(guān)的基本原理出發(fā)，研究系統(tǒng)的可靠性結(jié)構(gòu)及其時(shí)間演化問(wèn)題。
在分析系統(tǒng)可靠性時(shí)，系統(tǒng)的可靠性邏輯結(jié)構(gòu)往往起到關(guān)鍵作用。一個(gè)系統(tǒng)可以分為多個(gè)部件，每個(gè)部件又可以再細(xì)分為多個(gè)子部件，每個(gè)部件的失效和退化都在不同程度上決定了系統(tǒng)的退化行為。當(dāng)系統(tǒng)不斷細(xì)分為子系統(tǒng)和部件，達(dá)到細(xì)觀或微觀尺度時(shí)，系統(tǒng)的失效機(jī)理必將受到量子效應(yīng)的影響，因此可靠性的最終基礎(chǔ)在一定程度上可以歸結(jié)為量子物理。
其實(shí)，在可靠性的觀念被廣泛地應(yīng)用于相關(guān)工程技術(shù)領(lǐng)域的同時(shí)，量子力學(xué)的飛躍式發(fā)展也先后催生了核能、半導(dǎo)體和激光等科技創(chuàng)新。而今，隨著量子計(jì)算和量子信息等量子技術(shù)的不斷進(jìn)步，量子相干器件在計(jì)算、通信、感知和安全等各個(gè)領(lǐng)域的巨大潛力引發(fā)了人們廣泛的關(guān)注，量子器件構(gòu)成的量子裝備(如量子計(jì)算機(jī))有可能在不久的將來(lái)走向應(yīng)用。然而，如何確保量子相干器件的長(zhǎng)期穩(wěn)定運(yùn)行并發(fā)揮其不可替代的技術(shù)功能，成為了新一代量子工程技術(shù)發(fā)展必須面對(duì)的重大科學(xué)問(wèn)題。對(duì)于這類微觀部件組成的系統(tǒng)，其可靠性的衡量將受到諸多來(lái)自量子力學(xué)的限制。對(duì)于宏觀的系統(tǒng)而言，可靠與否的區(qū)分不存在任何原理上的限制，但是對(duì)于利用量子態(tài)實(shí)現(xiàn)功能的器件而言，可靠與否的區(qū)分必須是相對(duì)于正交態(tài)而言的。另外，可靠程度的量化實(shí)際上是一個(gè)過(guò)程依賴的量，而系統(tǒng)狀態(tài)演化軌跡之間的量子干涉往往會(huì)使得過(guò)程依賴物理量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，無(wú)法用經(jīng)典概率論描述。同時(shí)，狀態(tài)間的相干疊加如何影響可靠性也是一個(gè)挑戰(zhàn)性的科學(xué)問(wèn)題。由于這些限制和挑戰(zhàn)的存在，我們必須對(duì)量子器件或者植入量子部件的可靠性進(jìn)行原理性分析。
本文首先簡(jiǎn)要介紹可靠性研究，扼要闡述浴盆曲線假設(shè)和結(jié)構(gòu)函數(shù)理論，并結(jié)合目前退相干問(wèn)題對(duì)前沿量子技術(shù)提出的挑戰(zhàn)，在沒(méi)有波包約化的量子力學(xué)數(shù)學(xué)框架下引出量子可靠性的概念，并闡述其探索的科學(xué)意義。本文同時(shí)面向物理和工程背景的讀者，介紹可靠性工程中與統(tǒng)計(jì)物理、量子物理等物理學(xué)領(lǐng)域相聯(lián)系的概念和內(nèi)容。筆者希望以此讓物理背景的讀者更多地了解可靠性工程、更多地參與其科學(xué)研究，同時(shí)也希望為可靠性工程提供新的研究視角，以在可靠性科學(xué)基礎(chǔ)上有所突破。
2、退化過(guò)程的浴盆曲線研究及其“第一原理”
每一個(gè)裝備或器件都有自己的壽命。針對(duì)特定功能而言，個(gè)體間存在的固有差異導(dǎo)致同類器件的壽命出現(xiàn)隨機(jī)性，并服從某個(gè)分布。因此，人們通常采用概率測(cè)度來(lái)度量可靠的程度，即可靠度可以定義為系統(tǒng)保持時(shí)間t內(nèi)不失效的概率(也叫存活函數(shù)或可靠度函數(shù))，記為R(t)，其中t即為系統(tǒng)的壽命。在此基礎(chǔ)上，可以定義失效率函數(shù)(風(fēng)險(xiǎn)函數(shù))x(t) ≡ -(dR/dt)/R，它表示存活概率的相對(duì)變化率。需要指出的是，失效率函數(shù)是可靠性工程中的核心概念之一[4]，它的刻畫(huà)和描述不應(yīng)當(dāng)只停留在工程技術(shù)層面上。人們通過(guò)失效率函數(shù)曲線的形狀就能判斷和預(yù)測(cè)出系統(tǒng)失效風(fēng)險(xiǎn)隨著時(shí)間的變化情況。在可靠性工程發(fā)展初期，系統(tǒng)的可靠度和風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)通常需要根據(jù)大量的壽命數(shù)據(jù)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法來(lái)獲得。然而，在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，由于各類限制，系統(tǒng)壽命相關(guān)的數(shù)據(jù)量可能極為有限，甚至無(wú)法獲取。這些現(xiàn)實(shí)困難驅(qū)使人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)并結(jié)合唯象假設(shè)來(lái)分析可靠度。其中最為著名的唯象假設(shè)是以下將介紹的浴盆曲線。
在工程領(lǐng)域中，對(duì)各類系統(tǒng)的長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，有相當(dāng)一部分設(shè)備(尤其是電子設(shè)備)的失效率曲線在三個(gè)不同的使用時(shí)期呈現(xiàn)出三種變化趨勢(shì)，如圖1所示[6]：第I階段時(shí)，早期系統(tǒng)處于磨合階段，有較高的失效風(fēng)險(xiǎn)，經(jīng)歷磨合之后系統(tǒng)失效風(fēng)險(xiǎn)下降；第II階段為平穩(wěn)期，過(guò)了平穩(wěn)期后，系統(tǒng)全壽命周期即將結(jié)束；轉(zhuǎn)入第III階段后，失效率又重新回升，系統(tǒng)將很快走向死亡。這類失效率曲線被命名為浴盆曲線。由于這一現(xiàn)象符合人們的經(jīng)驗(yàn)常識(shí)，并且在大量的設(shè)備器件中也觀察到了浴盆曲線，因此人們有理由相信浴盆曲線可能是普適的。
圖1 浴盆曲線示意圖(圖片來(lái)自文獻(xiàn)[6](重畫(huà)))
人類記載的浴盆曲線最早并不是在近代的可靠性工程領(lǐng)域內(nèi)，而是17世紀(jì)Breslau城市的人口死亡率統(tǒng)計(jì)[7]。當(dāng)時(shí)嬰兒夭折的概率較高導(dǎo)致了前期高死亡風(fēng)險(xiǎn)，到了后期由于衰老導(dǎo)致抵御疾病的能力下降使死亡率再次升高。1969年，Gnedenko等人在他們的著作[6]中首次把浴盆曲線引入到可靠性工程領(lǐng)域，他們發(fā)現(xiàn)大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示失效率曲線x(t)會(huì)呈現(xiàn)出浴盆的形狀。當(dāng)然，他們也指出這一結(jié)論并非完全普適：隨著產(chǎn)品質(zhì)量把持能力的提升以及篩查流程的加入，一些元件沒(méi)有早期高失效率的階段。時(shí)至今日，關(guān)于浴盆曲線的爭(zhēng)論一直存在。這些爭(zhēng)論的焦點(diǎn)是浴盆曲線的普適性。支持的一方認(rèn)為浴盆曲線是一種理想條件下普適的失效率曲線[4]。反對(duì)方則批評(píng)浴盆曲線缺乏理論根據(jù)[8—10]。
人們?cè)?jīng)提出各類概率模型來(lái)刻畫(huà)浴盆曲線以及其他形狀的失效曲線。其中一種典型的構(gòu)造方法是對(duì)常見(jiàn)的分布函數(shù)做概率混合[11]，或者是將各個(gè)不同的失效率做混合。這類混合的含義是指一個(gè)系統(tǒng)會(huì)經(jīng)歷不同的失效模式。具體來(lái)說(shuō)，早期高失效風(fēng)險(xiǎn)是因?yàn)榇嬖谙忍烊毕莸南到y(tǒng)，它們與正常系統(tǒng)的失效風(fēng)險(xiǎn)并不相同，在任務(wù)開(kāi)始時(shí)的磨合期，有缺陷的系統(tǒng)會(huì)快速失效，而正常系統(tǒng)則會(huì)平穩(wěn)地度過(guò)這段時(shí)期。但是這仍然無(wú)法解釋后期高失效風(fēng)險(xiǎn)的行為。
通過(guò)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立失效率曲線的方法實(shí)質(zhì)上是一種統(tǒng)計(jì)推斷，作為統(tǒng)計(jì)推斷方法之一的最大熵原理正是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的邏輯基礎(chǔ)。最近，本文作者(杜，孫，關(guān))及其合作者，一起研究了最大熵原理在失效率推斷方面的理論和應(yīng)用[12]。我們的研究動(dòng)機(jī)是，能否基于原理給出失效率函數(shù)所滿足的運(yùn)動(dòng)方程，并給出浴盆曲線。在研究中，我們利用最大熵原理得到了任意約束條件下的運(yùn)動(dòng)方程(Box 1中的方程(3))。根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程的解，列舉了出現(xiàn)浴盆曲線的約束條件及其取值范圍。特別地，把壽命統(tǒng)計(jì)的一階矩和二階矩作為約束條件，且當(dāng)它們的取值在一定范圍內(nèi)時(shí)，推斷出的失效率曲線就是浴盆曲線。除此之外，對(duì)于其他的實(shí)際中觀察到的失效率曲線類型，例如，單調(diào)型、倒置浴盆型等，利用這一方法均能在適當(dāng)?shù)臈l件下給出，如圖2所示。事實(shí)上，該理論提供了從實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)到失效率曲線的一種較為普適的方法。后來(lái)，我們也將該理論推廣到了具有多組壽命參數(shù)的多組件可靠性問(wèn)題中[13]。
圖2 最大熵原理得到的各類失效曲線示意圖，其中綠色曲線為浴盆曲線，β1、β2為最大熵約束中的參數(shù)[12]
以上研究都是在系統(tǒng)層次上進(jìn)行的研究，并未仔細(xì)考慮系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。如果從物理上解釋其普適性，需要從部件失效引起系統(tǒng)失效的具體過(guò)程出發(fā)進(jìn)行建模研究，這是物理學(xué)“還原論”的觀點(diǎn)。然而，如果每一個(gè)部件都是e指數(shù)退化的，系統(tǒng)的退化怎么會(huì)表現(xiàn)為浴盆曲線？不過(guò)從“演生論”的觀點(diǎn)看，一個(gè)包含大量自由度的系統(tǒng)，其集體行為與個(gè)體行為中的大部分細(xì)節(jié)無(wú)關(guān)。如果從這個(gè)角度理解浴盆曲線普適性，一個(gè)自然的問(wèn)題就是：在怎樣的系統(tǒng)中，系統(tǒng)失效率隨時(shí)間演化的趨勢(shì)與各個(gè)部件演化趨勢(shì)中的細(xì)節(jié)幾乎無(wú)關(guān)？這個(gè)現(xiàn)象與多體物理學(xué)中的演生現(xiàn)象非常相似。以下將從結(jié)構(gòu)函數(shù)復(fù)雜性的角度出發(fā)介紹一種理解其普適性的模型[17]。
BOX 1
最大熵原理與失效率推斷
首先考慮一個(gè)離散隨機(jī)變量X，它有不同的取值，記為x1, x2, ?, xi, ?。第i個(gè)取值pi出現(xiàn)的概率為pi。這樣p ≡ (p1, p2, ?)就是一個(gè)隨機(jī)分布，它滿足概率歸一化條件
。對(duì)于分布函數(shù)p，香農(nóng)(C. E. Shannon)熵定義為
它刻畫(huà)隨機(jī)事件不確定性的大小。類似地，對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量Y(取值記為y)，可以對(duì)熵的形式稍作推廣：
假設(shè)已知該分布的某些平均值，
。這個(gè)等式和歸一化條件一樣可以看作是關(guān)于分布p必須滿足的約束條件。然而，同時(shí)滿足這些條件的分布并不唯一。統(tǒng)計(jì)推斷的任務(wù)之一便是在這些滿足約束條件的分布集里選擇出一個(gè)或一些相對(duì)合理的分布函數(shù)。最大熵原理的基本思想是選擇這些滿足約束條件的分布中熵最大的那個(gè)分布，即認(rèn)為系統(tǒng)處于不確定性最大的分布上。
根據(jù)最大熵原理的假設(shè)，可以通過(guò)計(jì)算得到給定約束下的“最優(yōu)”分布，
其中α和β1, β2,?是拉格朗日乘子分別對(duì)應(yīng)歸一化約束和關(guān)聯(lián)期望值的約束。上述方程的解即為“最優(yōu)”分布p*，
其中
。參數(shù)βk由方程組
確定。例如y是相空間坐標(biāo)，f(y)是系統(tǒng)哈密頓量，那么分布p*(y)就是正則系綜。
1957年，E. T. Jaynes首先指出最大熵原理是統(tǒng)計(jì)物理的邏輯基礎(chǔ)[14—16]。Jaynes把這一信息論的思想應(yīng)用到統(tǒng)計(jì)物理基礎(chǔ)的研究，他認(rèn)為統(tǒng)計(jì)力學(xué)不是“力學(xué)”，而是已知部分信息(如平均能量)對(duì)另一部分“力學(xué)量”期望值(如動(dòng)量)的統(tǒng)計(jì)推斷。這個(gè)工作不僅使得人們從信息論的視角理解統(tǒng)計(jì)物理，而且對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)有深遠(yuǎn)的影響。當(dāng)只有一個(gè)能量平均值的約束
時(shí)，我們得到正則分布：
其中
。
最大熵原理可以用于系統(tǒng)壽命分布的推斷，壽命的概率密度函數(shù)是p(t)≡-dR/dt=x exp(-X)，其中
。可以把熵和約束看為作用量，即(x,X)的泛函，
變分得到歐拉—拉格朗日方程：
例如取壽命的一二階矩作為約束條件：f1(t)=t，f2(t)=t2，就可以得到不同趨勢(shì)的失效率曲線，包括單調(diào)遞增、浴盆型和倒置浴盆型，這些曲線都是實(shí)際系統(tǒng)中常見(jiàn)的。
3、結(jié)構(gòu)函數(shù)復(fù)雜性與普適失效行為的涌現(xiàn)
根據(jù)前文所述，可以通過(guò)部件冗余來(lái)提升系統(tǒng)整體的可靠度。這一思路的引入對(duì)可靠性工程產(chǎn)生了重要的影響[3]，具體為以下兩個(gè)方面：一方面是從系統(tǒng)設(shè)計(jì)角度，可以通過(guò)不同的冗余方式來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)系統(tǒng)的可靠度；另一方面從可靠性評(píng)估的角度，系統(tǒng)的可靠度可以通過(guò)部件的可靠度來(lái)確定。系統(tǒng)與部件之間的狀態(tài)依賴關(guān)系稱為結(jié)構(gòu)函數(shù)[18]，它描述了怎樣的部件狀態(tài)能夠使系統(tǒng)的功能得以實(shí)現(xiàn)，也體現(xiàn)了部件性能的冗余程度。例如，把系統(tǒng)狀態(tài)與部件狀態(tài)都粗略地分為可靠或不可靠?jī)煞N(第i個(gè)部件狀態(tài)記為σi=1,0)，那么對(duì)于一個(gè)包含N個(gè)部件的系統(tǒng)而言，它的結(jié)構(gòu)函數(shù)是包含N個(gè)自變量的遞增布爾函數(shù)Σ=?(σ1,σ2,?,σN)，函數(shù)取值代表系統(tǒng)的狀態(tài)Σ。由于利用部件的可靠性狀態(tài)得到系統(tǒng)整體的可靠性狀態(tài)的過(guò)程是將多個(gè)自由度合并成一個(gè)自由度，因此實(shí)質(zhì)上這是一種粗粒化，也代表了某種冗余度。
當(dāng)系統(tǒng)的部件數(shù)目足夠龐大時(shí)，結(jié)構(gòu)函數(shù)的復(fù)雜性可能會(huì)使得系統(tǒng)的失效規(guī)律(如失效率時(shí)間演化趨勢(shì))不能再簡(jiǎn)單地用部件的失效規(guī)律來(lái)描寫(xiě)。這可以理解為復(fù)雜系統(tǒng)中的演生現(xiàn)象。關(guān)于演生現(xiàn)象，物理學(xué)家P. W. Anderson曾有一句著名的論述：“多者異也(more is different)”[19]，即當(dāng)系統(tǒng)包含大量組件時(shí)，組件之間的相互作用或者系統(tǒng)的組織方式將導(dǎo)致系統(tǒng)整體的行為有別于單個(gè)組件的行為。例如，雖然超導(dǎo)體中包含大量電子，但是超導(dǎo)現(xiàn)象卻不能由獨(dú)立電子的行為描述；再如，每個(gè)水分子H2O結(jié)構(gòu)是一樣的，但由它們組成的雪花卻千姿百態(tài)，呈現(xiàn)不同的正六邊形結(jié)構(gòu)，與H2O本身結(jié)構(gòu)沒(méi)有直接聯(lián)系。我們的研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)可靠性的問(wèn)題，系統(tǒng)的失效規(guī)律是由粗?；^(guò)程的不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)決定的，而不再由單個(gè)部件失效風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)間變化趨勢(shì)決定。
事實(shí)上，包含數(shù)量龐大部件的復(fù)雜系統(tǒng)通常具有多層次的特征。這里多層次特征是指一個(gè)系統(tǒng)包含若干個(gè)子系統(tǒng)，而子系統(tǒng)又可以進(jìn)一步向下分解并以此類推直至最基礎(chǔ)的部件。系統(tǒng)的失效過(guò)程是從基礎(chǔ)部件開(kāi)始的，然后逐步向上傳遞直至系統(tǒng)層。對(duì)于相鄰兩層之間可靠度的依賴關(guān)系由結(jié)構(gòu)函數(shù)確定。系統(tǒng)的狀態(tài)可以由基礎(chǔ)部件狀態(tài)出發(fā)通過(guò)一系列結(jié)構(gòu)函數(shù)的復(fù)合作用后給出。
Box 2分析了結(jié)構(gòu)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于只有一個(gè)閾值的情形，當(dāng)部件可靠度高于該閾值時(shí)，由于每一層結(jié)構(gòu)都起到保護(hù)作用，隨著層數(shù)的增多，系統(tǒng)變得越來(lái)越可靠，反之則越來(lái)越不可靠。
BOX 2
不動(dòng)點(diǎn)與系統(tǒng)可靠性
考慮每個(gè)部件的狀態(tài)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且相同的，根據(jù)結(jié)構(gòu)函數(shù)，我們可以用部件可靠度r 計(jì)算系統(tǒng)的可靠度R，即用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)描寫(xiě)：R=f?(r)≡〈?(σ1,σ2,?,σN)〉，其中〈?〉代表對(duì)σ1,σ2,?,σN的系綜取平均。當(dāng)所有部件都可靠時(shí)，系統(tǒng)一定是可靠的，f?(1)=1，反之，當(dāng)所有部件都不可靠時(shí)，系統(tǒng)一定不可靠f?(0)=0。可以看出這兩個(gè)點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)。除了這兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，f?一般還具有第三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)r?，0≤r?≤1，可以證明對(duì)于任意?，當(dāng)r?≤r≤1時(shí)，R≥f?(r)；當(dāng)0≤r≤r?時(shí)，R≤f?(r)。這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)給出了部件可靠度的閾值，當(dāng)部件可靠度大于該閾值時(shí)，系統(tǒng)的可靠度高于部件，此時(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)起到保護(hù)性作用，系統(tǒng)失效被延緩。與之相反，當(dāng)部件可靠度低于閾值時(shí)，系統(tǒng)失效一定被加速。
當(dāng)含有不同閾值的多個(gè)結(jié)構(gòu)函數(shù)經(jīng)過(guò)適當(dāng)概率混合后，閾值的數(shù)目可以發(fā)生變化。即除了r=0和r=1外，f?mix可具有多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。如圖3(b)所示，f?mix(r)在0<r<1之間具有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)r1和r2(r1>r2)，系統(tǒng)在r1<r<1范圍內(nèi)加速失效，在r2<r<r1范圍內(nèi)保持穩(wěn)定，在0<r<r2范圍再次加速失效，于是系統(tǒng)整體出現(xiàn)浴盆曲線。
對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)中部件可靠度高于閾值時(shí)，底層部件失效向上層傳遞受阻的這一現(xiàn)象，從統(tǒng)計(jì)物理的角度看是一種滲流[20]。對(duì)于這類系統(tǒng)，部件開(kāi)始緩慢失效的初期，系統(tǒng)的失效風(fēng)險(xiǎn)十分低，當(dāng)系統(tǒng)接近閾值時(shí)，失效風(fēng)險(xiǎn)陡然增加。在層數(shù)足夠多時(shí)，系統(tǒng)失效率函數(shù)的趨勢(shì)與部件失效率函數(shù)的細(xì)節(jié)幾乎無(wú)關(guān)。例如考慮部件的可靠度用威布爾分布r(t)=exp(-tα)刻畫(huà)，它對(duì)應(yīng)的部件失效率是αtα-1，當(dāng)0<α<1時(shí)，部件失效率隨時(shí)間遞減，當(dāng)α>1時(shí)，部件失效率隨時(shí)間遞增。因此參數(shù)α可視為描寫(xiě)部件個(gè)體退化行為細(xì)節(jié)的參數(shù)。如果系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)(圖3(a))，當(dāng)系統(tǒng)層數(shù)足夠大時(shí)，系統(tǒng)層次的失效率x(t)呈現(xiàn)單調(diào)遞增變化(圖3(c))。對(duì)比圖3(c)的左右兩小圖可以看出，在層數(shù)L足夠大時(shí)，不同的α取值不會(huì)影響系統(tǒng)失效率的變化趨勢(shì)。這表明系統(tǒng)失效行為不依賴于部件細(xì)節(jié)。此時(shí)可以認(rèn)為，系統(tǒng)層次涌現(xiàn)出了與部件不同的失效行為：它不再簡(jiǎn)單地由部件失效率的演化趨勢(shì)決定，而是由結(jié)構(gòu)函數(shù)的性質(zhì)決定。
圖3 (a)和(b)展示相鄰兩層子系統(tǒng)的可靠度關(guān)系示意圖，根據(jù)Box 2中的分析，圖中藍(lán)色曲線與黃色直線的交點(diǎn)即為不動(dòng)點(diǎn)。圖(a)中的f?(r)在0<r<1范圍內(nèi)有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，圖(b)中的f?(r)在該范圍內(nèi)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)圖中的r1和r2。假設(shè)部件壽命是威布爾分布r(t)=exp(-tα)(這里時(shí)間t已被無(wú)量綱處理)，它對(duì)應(yīng)的部件失效率是αtα-1，當(dāng)0<α<1時(shí)，部件失效率隨時(shí)間遞減，當(dāng)α>1時(shí)，部件失效率隨時(shí)間遞增。(c)和(d)展示多層系統(tǒng)的失效率時(shí)間變化趨勢(shì)。其中圖(c)中每一層結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)于(a)，這類結(jié)構(gòu)函數(shù)在r(t)小于不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，會(huì)抑制系統(tǒng)失效風(fēng)險(xiǎn)。從(c)中可以看出，隨著層數(shù)L的增加，系統(tǒng)早期失效率受抑制效果變得顯著。當(dāng)層數(shù)足夠多時(shí)，系統(tǒng)失效率呈遞增趨勢(shì)，這一趨勢(shì)不依賴于部件層次的細(xì)節(jié)參數(shù)α。圖(d)中每一層結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)于(b)，這種結(jié)構(gòu)函數(shù)在r2<r(t)<r1范圍內(nèi)，會(huì)抑制系統(tǒng)失效風(fēng)險(xiǎn)，在此范圍以外，會(huì)增加系統(tǒng)失效風(fēng)險(xiǎn)。因此如圖(d)中當(dāng)層數(shù)足夠多時(shí)，無(wú)論部件失效率遞增(α=1.1)還是遞減(α=0.7)，系統(tǒng)的失效率曲線都是浴盆曲線[18]
然而，上述得到的失效率并非浴盆曲線。浴盆曲線中存在兩個(gè)失效率隨時(shí)間快速轉(zhuǎn)變的階段，即早期高風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)入平穩(wěn)期，以及平穩(wěn)期進(jìn)入末期高風(fēng)險(xiǎn)。如果這樣的行為也是結(jié)構(gòu)函數(shù)導(dǎo)致的，那么對(duì)應(yīng)的f?應(yīng)當(dāng)具有兩個(gè)非穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)(圖3(b))。系統(tǒng)的失效率如圖3(d)所示，對(duì)比圖3(d)的兩個(gè)小圖可以看出，當(dāng)系統(tǒng)層數(shù)足夠大時(shí)，系統(tǒng)層次的失效率都是浴盆曲線，同樣改變部件細(xì)節(jié)參數(shù)α也不會(huì)影響這一特征。復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)的不確定[21]，一方面可以被視作失效模式混合的一種起源，另一方面也為理解浴盆曲線普適性提供了一種解釋。
4、量子可靠性及其“歷史”
主觀性是影響可靠性工程的要素之一，原因是失效的判斷標(biāo)準(zhǔn)通常來(lái)自于人們的經(jīng)驗(yàn)。這些判據(jù)大多是考察系統(tǒng)特征物理參數(shù)是否在某個(gè)區(qū)域范圍，有時(shí)它可以表述為系統(tǒng)物理狀態(tài)空間的某些限制。從前面關(guān)于多層級(jí)系統(tǒng)的問(wèn)題中可以看出，對(duì)于系統(tǒng)可靠與否的判斷是最為粗?；摹ｋS著層次的下降，要對(duì)各層次的各個(gè)子系統(tǒng)做可靠與否的判斷，這其實(shí)是對(duì)系統(tǒng)物理狀態(tài)做更為精細(xì)的區(qū)分與判斷。因此對(duì)于一些更精細(xì)的系統(tǒng)，隨著在細(xì)觀或微觀尺度上量子效應(yīng)的出現(xiàn)，這種主觀性判斷進(jìn)一步向更深層次滲透。
圖4 兩波包重疊(不正交)，從系綜統(tǒng)計(jì)的意義上，如果波包中心位置間距離的尺度不小于波包寬度的尺度，那么這兩個(gè)波包可以被區(qū)分。從單次觀測(cè)的意義上，不論波包中心位置間距離的尺度是否大于波包寬度的尺度，只要兩個(gè)波函數(shù)不正交，則它們無(wú)法確定地被區(qū)分
根據(jù)量子力學(xué)的基本觀點(diǎn)，物體的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)波動(dòng)性，而物質(zhì)波在空間中的延展特征會(huì)對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的區(qū)分帶來(lái)一定限制。如圖4所示，對(duì)于兩個(gè)交疊的波包能否被區(qū)分，從經(jīng)典的視角看，如果波包中心位置間距離的尺度不小于波包寬度的尺度，那么這兩個(gè)波包可以被區(qū)分。但這里值得注意的是，無(wú)論是波包中心位置還是寬度都是統(tǒng)計(jì)結(jié)果。實(shí)驗(yàn)中想要獲得統(tǒng)計(jì)結(jié)果，必須事先制備出系綜。由于不可克隆定理[22]，用統(tǒng)一的方法制備任意未知量子態(tài)的系綜是不可能的，并且如果兩個(gè)波包有交疊，那么無(wú)法通過(guò)單次測(cè)量的讀數(shù)確定性地區(qū)分它們，這是因?yàn)榭傆幸欢ǖ母怕食霈F(xiàn)交疊處的讀數(shù)。兩個(gè)沒(méi)有交疊的波包在希爾伯特空間中總是正交的，因此非正交態(tài)不可區(qū)分[22]。從這個(gè)意義上講，如果要確定性地區(qū)分一個(gè)量子系統(tǒng)可靠與否，那么失效判據(jù)必須定義在一組正交態(tài)之上，即可靠狀態(tài)和非可靠狀態(tài)對(duì)應(yīng)的希爾伯特子空間是正交的。這可以看作是量子力學(xué)和可靠性在小子樣(指樣本數(shù)不足)前提下共同作用的結(jié)果。因此，在微觀上區(qū)分可靠與否是一個(gè)內(nèi)在的挑戰(zhàn)。
此外，如前所述，一個(gè)系統(tǒng)的可靠性定義為系統(tǒng)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)保持功能的能力，這可以通過(guò)系統(tǒng)保持可靠狀態(tài)的概率來(lái)刻畫(huà)。經(jīng)典可靠性定義依賴于系統(tǒng)狀態(tài)的演化過(guò)程，它的量子版本對(duì)應(yīng)于量子歷史過(guò)程。在量子力學(xué)中，系統(tǒng)不同演化軌跡歷史之間的干涉，過(guò)程量往往無(wú)法用經(jīng)典的語(yǔ)言和邏輯描述，這是量子可靠性研究的另一個(gè)挑戰(zhàn)。所幸，R. B. Griffiths在上世紀(jì)80年代提出的量子力學(xué)自洽歷史詮釋[23，24]給出了如何描述量子過(guò)程及其和經(jīng)典描述之間的關(guān)系。為了更好地介紹量子可靠性，Box 3簡(jiǎn)要回顧自洽歷史詮釋。
BOX 3
自洽歷史詮釋
量子系統(tǒng)的歷史指的是系統(tǒng)在希爾伯特空間隨時(shí)間發(fā)展演化的軌跡，它包括了時(shí)間演化和測(cè)量操作。例如，一個(gè)粒子從t0時(shí)刻在x0位置出發(fā)，t1時(shí)刻處在x1位置，t2時(shí)刻處在x2位置，…，一直到tn時(shí)刻在xn位置，這就是一段歷史。可以把多條不同的歷史看成一個(gè)整體形成粗?；臍v史，如圖5所示。
在更一般的意義下，歷史中每個(gè)時(shí)刻所經(jīng)歷的狀態(tài)可以用希爾伯特子空間的投影算符E0, E1, E2, ?來(lái)描述。根據(jù)量子力學(xué)的自洽歷史詮釋，某一特定時(shí)刻ti，系統(tǒng)是否可靠由投影算符Ei來(lái)刻畫(huà)，若系統(tǒng)態(tài)|ψ〉處在該投影算符的子空間內(nèi)，即Ei|ψ〉=|ψ〉，稱系統(tǒng)可靠。同樣，系統(tǒng)不可靠對(duì)應(yīng)的投影為Ei⊥(Ei⊥≡I-Ei)，系統(tǒng)演化將在可靠與可靠之間形成一條軌跡，即歷史，如：可靠、可靠、可靠、不可靠這一歷史對(duì)應(yīng)的就是E0, E1, E2, E3⊥。通常不同歷史之間是相互干涉的，我們無(wú)法對(duì)每一個(gè)歷史路徑獨(dú)立定義概率。但是，可以根據(jù)系統(tǒng)的演化算符U(t, t')對(duì)每一段歷史定義權(quán)重，W(E0, E1, ?, En)≡Tr(ρ0hh†)，其中
。這個(gè)權(quán)重在某些情況下不能解釋為概率，此時(shí)，我們稱這組歷史不自洽。自洽歷史理論對(duì)不同歷史之間的自洽性給出了精確的定義，它可以表述為：如果任意多條歷史的權(quán)重之和都等于這些歷史粗?；蟮臋?quán)重，那么這些歷史是自洽的。例如，一個(gè)粒子從t0時(shí)刻在x0位置出發(fā)，ti時(shí)刻處在xi或xi′位置，一直到tn時(shí)刻處在xn位置是一段粗?；臍v史，它的權(quán)重需要滿足以下條件才是自洽的：
當(dāng)歷史是自洽的，歷史權(quán)重就滿足概率測(cè)度的基本要求，權(quán)重就變成了幾率。此時(shí)如果從這些已經(jīng)自洽的歷史角度考察系統(tǒng)的演化過(guò)程，可以認(rèn)為這段過(guò)程是經(jīng)典的。
對(duì)于不自洽的歷史，可以引入測(cè)量?jī)x器和系統(tǒng)之間的適當(dāng)耦合，使得系統(tǒng)和儀器的整體的歷史變得自洽，即利用量子儀器參與的量子測(cè)量把原本不自洽的歷史權(quán)重變成概率。在這個(gè)描述中，儀器必須由量子力學(xué)描述，測(cè)量不能簡(jiǎn)單地假設(shè)為波包塌縮。例如，在圖6的電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，對(duì)電子經(jīng)過(guò)的窄縫進(jìn)行觀測(cè)時(shí)干涉條紋消失的這一現(xiàn)象可以被解釋為，測(cè)量?jī)x器的加入使得電子上下兩條路徑對(duì)應(yīng)的歷史滿足自洽條件，此時(shí)儀器和系統(tǒng)整體的歷史之間不再相互干涉。這種經(jīng)典概率分布的涌現(xiàn)意味著量子系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)的時(shí)間演化特性是客觀存在的。
圖5 一個(gè)粒子從t0時(shí)刻處在x0位置出發(fā)，經(jīng)過(guò)不同路徑在tn時(shí)刻處在xn位置。左圖和右圖分別代表細(xì)粒化和粗?；穆窂?/span>
圖6 粒子通過(guò)不同的雙縫將經(jīng)歷不同的“歷史”，如A-B-C’-D(紅色路徑)或A-B’-C-D(藍(lán)色路徑)，它們是相干的
基于自洽歷史理論，我們研究了量子相干器件可靠性的描述問(wèn)題[25]，提出了量子可靠性的新概念。首先根據(jù)自洽歷史理論為每一條歷史分配了相應(yīng)的權(quán)重，此時(shí)權(quán)重暫時(shí)不能代表概率。然后，通過(guò)引入基于量子儀器的測(cè)量，使得包含儀器和系統(tǒng)的整體的細(xì)?；瘹v史滿足自洽條件，歷史軌跡間彼此獨(dú)立，以上賦予的權(quán)重就變成了器件量子可靠性的概率測(cè)度。在這個(gè)框架下，量子器件描述方式與經(jīng)典可靠性的刻畫(huà)十分相似，由此可以得到量子部件可靠性分析中的壽命分布和失效率曲線等。同時(shí)，這類權(quán)重量化了實(shí)際過(guò)程和理想過(guò)程之間的差別，并可在不同歷史顆粒度下進(jìn)行分級(jí)，因而可以視為量子細(xì)?；倪^(guò)程保真度。
我們的工作還給出了量子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)的明確描述方式。在量子系統(tǒng)內(nèi)部，量子部件狀態(tài)之間的量子糾纏是經(jīng)典系統(tǒng)內(nèi)經(jīng)典部件所沒(méi)有的獨(dú)特特征，這一特征也會(huì)改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)，進(jìn)而影響系統(tǒng)可靠性。例如，用三比特翻轉(zhuǎn)碼保護(hù)的量子存儲(chǔ)：三個(gè)物理比特即為系統(tǒng)的三個(gè)部件，所保護(hù)的邏輯比特是系統(tǒng)的整體狀態(tài)。當(dāng)儲(chǔ)存的邏輯比特是無(wú)相干性的態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)是經(jīng)典可靠性中常見(jiàn)的一種，即如果三個(gè)部件有兩個(gè)以上可靠，那么系統(tǒng)可靠。而當(dāng)儲(chǔ)存的邏輯比特是疊加態(tài)時(shí)，需要在物理比特之間引入糾纏。此時(shí)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)無(wú)法再用經(jīng)典可靠性理論描寫(xiě)。圖7繪制了系統(tǒng)可靠度(RL)與部件可靠度(RP)的依賴關(guān)系，可以看出，當(dāng)改變系統(tǒng)初始狀態(tài)即部件之間的糾纏時(shí)，閾值(曲線和對(duì)角線的交點(diǎn))會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變。這表明部件之間量子糾纏會(huì)改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)進(jìn)而影響閾值的大小。其中，越小的閾值表示這種冗余結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)的保護(hù)越好，當(dāng)閾值等于1的時(shí)候這種冗余結(jié)構(gòu)完全無(wú)法保護(hù)系統(tǒng)。
圖7 三比特翻轉(zhuǎn)碼保護(hù)的邏輯比特可靠性RL和物理比特可靠性RP關(guān)系圖。其中被保護(hù)的邏輯比特狀態(tài)是
，曲線與對(duì)角線的交點(diǎn)代表部件可靠性閾值[25]
近年，量子計(jì)算的技術(shù)奇點(diǎn)備受矚目。量子可靠性可以為定量討論技術(shù)奇點(diǎn)問(wèn)題提供幫助。技術(shù)奇點(diǎn)是指，當(dāng)某項(xiàng)技術(shù)積累到某個(gè)水平后，后續(xù)的發(fā)展將得到極大的加速以至于顛覆當(dāng)下人們的認(rèn)識(shí)和理解。近年，以量子計(jì)算、量子傳感、量子通信為代表的量子信息技術(shù)快速發(fā)展。其中量子計(jì)算正孕育著顛覆傳統(tǒng)計(jì)算技術(shù)的潛力，它的技術(shù)突破備受關(guān)注。目前量子信息技術(shù)所面臨的主要挑戰(zhàn)之一是量子態(tài)退相干問(wèn)題。為了實(shí)現(xiàn)通用量子計(jì)算，人們采取糾錯(cuò)編碼的方式保護(hù)量子比特的信息。其中表面碼是一種受廣泛關(guān)注并被寄予厚望的編碼方式[26]。人們根據(jù)容錯(cuò)閾值判斷表面碼是否起到保護(hù)效果。這里的容錯(cuò)閾值指的是物理比特錯(cuò)誤概率的臨界值，當(dāng)物理比特錯(cuò)誤概率低于某個(gè)臨界值時(shí)，邏輯比特發(fā)生錯(cuò)誤的概率隨碼距的增加而降低。這里碼距可以視為衡量錯(cuò)誤冗余程度的特征量。最近，國(guó)內(nèi)外的研究團(tuán)隊(duì)相繼在實(shí)驗(yàn)上觀察到了邏輯比特錯(cuò)誤概率隨碼距增加而降低的現(xiàn)象[27—29]。這些結(jié)果被認(rèn)為是量子計(jì)算研究已出現(xiàn)接近技術(shù)奇點(diǎn)的曙光。
從可靠性理論的視角看，容錯(cuò)閾值事實(shí)上是前文中系統(tǒng)與部件關(guān)系閾值的推廣，它描寫(xiě)不同冗余結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性之間的關(guān)系，而且和前文中閾值一樣是由結(jié)構(gòu)函數(shù)和噪聲模型共同決定的。量子可靠性理論還可以處理一般的噪聲模型以及相關(guān)的含時(shí)問(wèn)題，因此有望為這些閾值問(wèn)題突破提供一些新的思考角度和計(jì)算方法。
5、總 結(jié)
近年，關(guān)于可靠性是否為一門(mén)新科學(xué)的話題引起了廣泛的關(guān)注和爭(zhēng)論。我們從物理的角度，分析該領(lǐng)域中的幾個(gè)受關(guān)注問(wèn)題，并希望以此探索這些可靠性工程問(wèn)題背后的科學(xué)基礎(chǔ)。本文首先從傳統(tǒng)可靠性的浴盆曲線講起，通過(guò)統(tǒng)計(jì)推斷給出浴盆曲線的推導(dǎo)，同時(shí)研究了多層級(jí)結(jié)構(gòu)下系統(tǒng)層面失效率的涌現(xiàn)行為。隨著系統(tǒng)逐步細(xì)化到量子層面，引出量子可靠性概念，分析了可靠性理論與量子力學(xué)相結(jié)合所需滿足的基本限制，并展望了可靠性理論在量子技術(shù)領(lǐng)域的潛在應(yīng)用價(jià)值。在量子技術(shù)發(fā)展的驅(qū)動(dòng)下，不久的將來(lái)，量子物理與可靠性工程勢(shì)必交匯融合，逐步成為交叉科學(xué)的新前沿領(lǐng)域。與此同時(shí)，面對(duì)這些新的機(jī)遇和挑戰(zhàn)，從可靠性工程中建立一門(mén)兼具廣泛且統(tǒng)一的可靠性科學(xué)，其重要性再次突顯。但是，由于關(guān)于可靠性是否為一門(mén)新科學(xué)的爭(zhēng)論尚未停止，因此本文的視角難免受到作者知識(shí)和興趣偏好的影響。最后需要指出，本文介紹的內(nèi)容(包括我們自己的工作)只是可靠性科學(xué)探索的“盲人摸象”，離可靠性科學(xué)的最后建立還是有相當(dāng)?shù)木嚯x。本文旨在拋磚引玉，期望引發(fā)可靠性研究和物理學(xué)領(lǐng)域間的學(xué)術(shù)交流和融合，在奠定可靠性工程科學(xué)基礎(chǔ)、形成可靠性科學(xué)的同時(shí)，面向?qū)嶋H需求，在重大工程技術(shù)上有所創(chuàng)新突破。
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