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多尺度分析

 

多尺度科學(xué)是一門研究不同長度尺度或時間尺度相互耦合現(xiàn)象的跨學(xué)科科學(xué)，是復(fù)雜系統(tǒng)的重要分支之一，具有豐富的科學(xué)內(nèi)涵和研究價值。多尺度現(xiàn)象并存于生活的很多方面，它涵蓋了許多領(lǐng)域。如介觀、微觀和宏觀等多個物理、力學(xué)及其耦合領(lǐng)域，空間和時間上的多尺度現(xiàn)象是材料科學(xué)中材料變形和失效的固有現(xiàn)象。

多尺度分析方法是考慮空間和時間的跨尺度與跨層次特征，并將相關(guān)尺度耦合的新方法，是求解各種復(fù)雜的計算材料科學(xué)和工程問題的重要方法和技術(shù)。對于求解與尺度相關(guān)的各種不連續(xù)問題，復(fù)合材料和異構(gòu)材料的性能模擬問題，以及需要考慮材料微觀或納觀物理特性，品格位錯等問題，多尺度方法相當(dāng)有效。

復(fù)合材料是由兩種或者兩種以上具有不同物理、化學(xué)性質(zhì)的材料，以微觀、介觀或宏觀等不同的結(jié)構(gòu)尺度與層次，經(jīng)過復(fù)雜的空間組合而形成的一個多相材料系統(tǒng)。復(fù)合材料作為一種新型材料，由于具有較高的比強度和比剛度、低密度、強耐腐蝕性、低蠕變、高溫下強度保持率高以及生物相容性好等一系列優(yōu)點，越來越受到土木工程和航空航天工業(yè)等領(lǐng)域的重視。

復(fù)合材料是一種多相材料，其力學(xué)性能和失效機制不僅與宏觀性能（如邊界條件、載荷和約束等）有關(guān)，也與組分相的性能、增強相的形狀、分布以及增強相與基體之間的界面特性等細(xì)觀特征密切相關(guān)，為了優(yōu)化復(fù)合材料和更好地開發(fā)利用復(fù)合材料，必須掌握其細(xì)觀結(jié)構(gòu)對材料宏觀性能的影響，即應(yīng)研究多尺度效應(yīng)的影響。

如何建立起復(fù)合材料的有效性能和組分性能以及微觀結(jié)構(gòu)組織參數(shù)之間的關(guān)系，一直是復(fù)合材料研究的重點，也是復(fù)合材料研究的核心目標(biāo)之一。近年來，隨著細(xì)觀力學(xué)的發(fā)展和漸近均勻化理論的深化，人們逐漸認(rèn)識并開始研究復(fù)合材料宏觀尺度和細(xì)觀尺度之間的聯(lián)系，并把二者結(jié)合起來。

 

纖維增強復(fù)合材料力學(xué)性能

 

目前，纖維增強復(fù)合材料的研究方法可分為宏觀力學(xué)和細(xì)觀力學(xué)方法兩種。復(fù)合材料宏觀力學(xué)方法是從唯象學(xué)的觀點出發(fā)，基于均勻化假設(shè)，將復(fù)合材料當(dāng)做宏觀均勻介質(zhì)，視增強相和基體為一體，不考慮組分相的相互影響，僅考慮復(fù)合材料的平均表現(xiàn)性能。宏觀力學(xué)方法中的應(yīng)力、應(yīng)變不是基體和增強相的真實應(yīng)力、應(yīng)變，而是在宏觀尺度上的某種平均值。

復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)的目的是建立復(fù)合材料宏觀性能同其組分材料性能及細(xì)觀結(jié)構(gòu)之間的定量關(guān)系，是將微觀結(jié)構(gòu)形態(tài)特征量與宏觀力學(xué)分析相綜合，來建立兩個不同尺度之間的聯(lián)系，細(xì)觀力學(xué)是介于宏觀力學(xué)與微觀力學(xué)之間的重要分支學(xué)科，對研究跨尺度效應(yīng)的力學(xué)問題，既有重要的理論價值，也有重要的工程應(yīng)用前景，是當(dāng)前力學(xué)研究的國際前沿性問題。

 

纖維增強復(fù)合材料多尺度分析方法

 

纖維增強復(fù)合材料領(lǐng)域的多尺度分析方法主要為細(xì)觀力學(xué)方法，主要分為兩大類：分析法和細(xì)觀力學(xué)有限元法。

 

自治方法

 

自治方法是Hershey和Kroner在50年代先后提出的，主要用來研究多晶體材料的彈性性能。自治方法所使用的模型為無限大均勻介質(zhì)中內(nèi)含單一夾雜的模型。如圖1所示，認(rèn)為夾雜單獨處于一有效介質(zhì)中，而夾雜周圍有效介質(zhì)的彈性常數(shù)恰好就是復(fù)合材料的彈性常數(shù)。求解基本思想是由均勻邊界條件下的自治模型求得夾雜相內(nèi)的平均應(yīng)變，從而求得有效彈性剛度張量。

圖1 自治模型

 

Mori-Tanaka方法

 

Mori-Tanaka方法是1973年Mori和Tanaka在研究彌散硬化材料的加工硬化時，提出的求解材料內(nèi)部平均應(yīng)力的背應(yīng)力方法，是一種基于Eshelby等效夾雜原理的非均質(zhì)材料的等效彈性模量的計算方法。

Mori-Tanaka方法建立了夾雜相平均應(yīng)變同基體相平均應(yīng)變間聯(lián)系的四階張量，并將這個依賴于夾雜濃度的四階張量用無限大的基體材料內(nèi)單一夾雜的平均應(yīng)變和均與應(yīng)變間聯(lián)系張量來代替。

近年來，該方法成為預(yù)測非均勻復(fù)合材料性能的手段之一，但是該方法只適用于夾雜物都體分比較小的情況，模型示意圖如圖2所示。

圖2 等效夾雜模型示意圖

 

胞元模型

 

胞元模型，即宏觀-細(xì)觀統(tǒng)一的彈性本構(gòu)模型，是Aboudi于1989年首次提出來，并與1991年把該模型推廣到通用單胞模型中，后來Aboudi等又把Bonder-Partom本構(gòu)模型融入到MOC與GMC模型中，將其推廣到纖維增強復(fù)合材料的彈塑性分析中。

 

胞元模型是利用復(fù)合材料的周期性假設(shè)，將代表性體積單元劃分為若干個子胞，如圖3所示，假設(shè)子胞內(nèi)任一點的位界條件（平均位移連續(xù)條件和應(yīng)力連續(xù)條件），求解彈性力學(xué)的基本方程，獲得RVE的應(yīng)力應(yīng)變場，再利用均勻化理論獲得復(fù)合材料的宏觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。分析思路如圖4所示。

 

圖3 單胞模型

 

圖4 通用單胞模型求解示意圖

 

均勻化理論

 

均勻化理論是20世紀(jì)70年代由法國科學(xué)家提出并應(yīng)用到具有周期性結(jié)構(gòu)的材料分析中。Babuska曾預(yù)言均勻化理論應(yīng)用于復(fù)合材料研究的可能性，后來Duvaut首先將其應(yīng)用于單向纖維復(fù)合材料，并將所得結(jié)果與Halpin-Tsai的結(jié)果進行了比較，發(fā)現(xiàn)吻合較好。

 

近年來該方法已成為分析夾雜、纖維增強復(fù)合材料、混凝土材料等效模量以及材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化常用的手段之一。均勻化方法是目前國際上分析復(fù)合材料宏細(xì)觀力學(xué)性能較為流行的方法，現(xiàn)在我國的研究人員也致力于這方面的研究，并逐步運用到工程領(lǐng)域中。

 

均勻化方法是一種分析周期性微觀結(jié)構(gòu)材料性能的具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)依據(jù)的方法，是一種既能分析復(fù)合材料的宏觀特性，又能反映其細(xì)觀結(jié)構(gòu)特性并建立起二者之間的聯(lián)系及相互作用的方法。它從構(gòu)成材料的微觀結(jié)構(gòu)的“胞元”出發(fā)，將胞元均勻化理論同時引入宏觀尺度和微觀尺度中，利用漸近分析方法，來有效建立宏觀和細(xì)觀之間的聯(lián)系。

 

細(xì)觀力學(xué)有限元法

 

細(xì)觀力學(xué)有限元法是通過劃分網(wǎng)格將結(jié)構(gòu)離散化來計算應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，先求出應(yīng)力-應(yīng)變場，再通過均勻化方法求出宏觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，還可以根據(jù)細(xì)觀場量進一步研究復(fù)合材料的塑性屈服、損傷破壞等問題。

細(xì)觀力學(xué)的最大優(yōu)點在于它能夠獲得細(xì)觀尺度下完整的應(yīng)力、應(yīng)變場來反映復(fù)合材料的宏觀相應(yīng)特征，這樣能夠定量分析復(fù)合材料宏觀性能對細(xì)觀結(jié)構(gòu)的依賴關(guān)系。細(xì)觀力學(xué)有限元法是處理具有小周期構(gòu)造的復(fù)合材料問題的一個重要理論方法，近年來許多學(xué)者建立和發(fā)展了多尺度有限元算法。

 

纖維增強復(fù)合材料彈塑性分析

 

復(fù)合材料是一種多相材料，影響其彈性性能的因素可以分為兩大類：一類是復(fù)合材料每一組分材料的彈性常數(shù)；另一類是復(fù)合材料內(nèi)部的微結(jié)構(gòu)特征，它包括增強相的形狀、種類、幾何尺寸、在基體中的分布和增強相間的相互作用等。

 

為了揭示復(fù)合材料特征對其宏觀性能的影響，許多研究者從細(xì)觀角度出發(fā)，發(fā)展了較為系統(tǒng)的細(xì)觀力學(xué)方法，解決了一些理論和工程問題，特別是近年來出現(xiàn)的均勻化理論，已成為分析纖維增強復(fù)合材料多尺度問題最常用的方法。

崔俊芝等研究了擬周期結(jié)構(gòu)在線彈性邊界條件下的均勻化方法，并給出了有限元基本計算量——位移、應(yīng)力、應(yīng)變和能量的估算。他們對具有小周期孔洞的復(fù)合材料彈性結(jié)構(gòu)進行了研究，得到了位移函數(shù)一類可以計算的雙尺度漸近展開式。他們還分析了一類具有小周期系數(shù)的橢圓型邊值問題的雙尺度漸近方法，主要研究方法是將原始的計算問題轉(zhuǎn)換到定義在邊界層上的周期性問題的分析中，并采用了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論。他們還用雙尺度有限元分析方法給出了周期性復(fù)合材料格林函數(shù)一階均勻化解的逐點誤差估計以及高精度的近似解，并針對周期性復(fù)合材料的熱-力耦合問題給出了物理、力學(xué)參數(shù)和熱-力耦合解的雙尺度表達式，發(fā)展了相應(yīng)的多尺度有限元算法。

孫志剛研究了復(fù)合材料宏-細(xì)觀統(tǒng)一本構(gòu)模型及一體化分析方法，將復(fù)合材料細(xì)觀場量與宏觀場量聯(lián)系起來。針對線性細(xì)觀位移模式的通用單胞模型無細(xì)觀正應(yīng)力和剪應(yīng)力之間耦合問題，推導(dǎo)了采用二階細(xì)觀位移模式的高精度通用單胞模型，并對基于高階理論的通用單胞模型進行了深入研究，針對高精度通用單胞模型計算效率低的缺點，采取了以界面平均量代替細(xì)胞位移函數(shù)的系數(shù)，并按弱化的邊界條件，提出了改進的二維高精度通用單胞模型。

范建華等以三維有限元為數(shù)值分析手段，通過在復(fù)合材料細(xì)觀模型的邊界上施加多組特定形式的均勻邊界條件，提出了一種通用的計算復(fù)合材料剛度的有限元方法，該方法可以一次性求解出復(fù)合材料所有的剛度系數(shù)。

近年來，運用細(xì)觀力學(xué)均勻化方法對復(fù)合材料有效性能的研究逐漸興起，但還多限于對復(fù)合材料彈性性能的研究，然而材料的破壞過程往往與材料的非線性特征相聯(lián)系，因此用多尺度方法對非線性問題進行研究就顯得更為重要。

多尺度方法能夠加速建模過程，減少計算工作量，主要思想是以全局均勻材料來等效原來的非均質(zhì)材料，且能滿足兩體系的應(yīng)變能完全或近似相同，對復(fù)合材料塑性研究也頗為有效。

李華祥等從反映復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)的胞元入手，綜合塑性極限分析中的機動法，將周期性復(fù)合材料的解轉(zhuǎn)化為求解一組帶等式約束的非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃問題；建立了計算極限載荷因子的一般數(shù)學(xué)規(guī)劃格式，并采用一種無搜索直接迭代計算法，研究了韌性復(fù)合材料的塑性極限承載能力。該方法建立在位移模式有限元基礎(chǔ)上，有較廣的適用范圍，為復(fù)合材料的強度分析提供了一個有效手段。

他還將細(xì)觀力學(xué)中的均勻化方法引入到塑性極限分析的機動方法中，對組合材料采用非線性von Mises屈服準(zhǔn)則。建立了復(fù)合材料塑性極限分析的有限元分析格式，最終將問題歸結(jié)為求解一個帶等式約束的非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃格式，并采用一種無搜索直接迭代算法進行求解，為復(fù)合材料強度分析提供了一個有效手段。

苑學(xué)眾等建立了整體材料的漸近分析理論。利用漸近級數(shù)并引用宏觀和細(xì)觀兩個尺度闡述了復(fù)合材料的彈塑性性能與組分性能及細(xì)觀結(jié)構(gòu)的關(guān)系；用ANSYS有限元軟件對玻璃纖維/環(huán)氧樹脂和硼/鋁復(fù)合材料的彈塑性有效性能進行了計算，并與試驗結(jié)構(gòu)進行了比較。

劉濤等將均勻化方法和漸近分析與參變量變分原來相結(jié)合提出了一種模擬復(fù)合材料非線性性能的多尺度樹脂方法。利用漸近分析建立了宏-細(xì)觀變量之間的聯(lián)系，用參變量變分原理計算非線性響應(yīng)，求解過程采用迭代算法。為了提高計算精度，針對von-Mises準(zhǔn)則和Tsai-Hill準(zhǔn)則，提出了一個基于參變量變分原理的改進算法，算例表明該方法可以顯著消除傳統(tǒng)方法采用線性展開式構(gòu)造線性互補條件所帶來的誤差。

作為一種解決復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)性能的有效方法，多尺度分析方法引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。近年來，多尺度分析方法用于纖維增強復(fù)合材料領(lǐng)域的研究在逐步增多，已經(jīng)取得了一定價值的研究成果；其研究范圍也在逐漸擴大，隨著細(xì)觀力學(xué)和數(shù)學(xué)理論的深化，多尺度分析方法必將有更大的發(fā)展空間。