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了解半導(dǎo)體器件物理第一步，我們必須首先了解能帶，了解能帶是如何形成的，以及帶隙一詞的來(lái)源。

原子內(nèi)電子的離散能級(jí)Discrete Energy Levels of Electrons Inside an Atom

我們已經(jīng)了解到，電子表現(xiàn)出波動(dòng)性，并且被限制在原子核形成的勢(shì)阱內(nèi)。這種限制與它們的波動(dòng)性相結(jié)合，導(dǎo)致電子具有離散的能級(jí)，這意味著它們的能量是明確定義的，而不是任意取值。

這些離散的能級(jí)出現(xiàn)是因?yàn)殡娮又荒芤蕴囟ǖ?、穩(wěn)定的配置“適應(yīng)”勢(shì)阱，就像兩端固定的繩子只能以某些特定的駐波模式振動(dòng)一樣。只有特定的波長(zhǎng)——從而特定的能量——是被允許的，這些對(duì)應(yīng)于駐波條件。

例如，單電子原子（如氫）中電子的能級(jí)由以下公式給出：E=13.6eV/n2，其中 n 是主量子數(shù)。前幾個(gè)能級(jí)分別是：

E1=−13.58eV,E2=−3.39eV,E3=−1.51eV. 隨著能級(jí)的增加（n 值越高），能量變得不那么負(fù)，表明電子與原子核的結(jié)合不那么緊密。 

值得注意的是，如果電子是自由的（不在原子內(nèi)束縛），它會(huì)表現(xiàn)為行波而不是駐波。在這種情況下，它不會(huì)被限制在離散的能級(jí)上，而是可以擁有連續(xù)的能量范圍。因此，正是這種限制導(dǎo)致了離散的能級(jí)。

Q：為什么電子在向更高軌道移動(dòng)時(shí)能量會(huì)增加？ 當(dāng)你遠(yuǎn)離原子核時(shí)，電子與原子核的結(jié)合變得不那么緊密，它們的能量就會(huì)增加。這是為什么呢？

A：電子由于質(zhì)子和電子之間的靜電吸引力而具有勢(shì)能。勢(shì)能可以被理解為“儲(chǔ)存”的能量，或者需要多少額外的外部能量來(lái)移除或移動(dòng)某樣?xùn)|西。第一殼層的電子緊密結(jié)合，這意味著你需要更多的外部能量才能將它們移除。當(dāng)你遠(yuǎn)離原子核時(shí)，電子與原子核的結(jié)合變得不那么緊密，更容易被移除。換句話說(shuō)，它們可以用少量的外部能量被移除，這表明它們已經(jīng)具有更高的能量。

電子能帶的形成Formation of Energy Bands of Electrons

當(dāng)許多原子聚集在一起形成固體時(shí)，它們的電子波函數(shù)相互作用，導(dǎo)致它們的離散能級(jí)分裂——一些電子占據(jù)稍高的能量，而另一些電子占據(jù)稍低的能量。隨著更多原子的結(jié)合，這些小的分裂形成了一個(gè)連續(xù)的、緊密間隔的能級(jí)，形成了一個(gè)能帶。盡管能帶看起來(lái)是連續(xù)的，但實(shí)際上它是由許多離散的能級(jí)組成的，這些能級(jí)如此緊密地排列在一起，以至于它們看起來(lái)無(wú)法區(qū)分。相比之下，孤立的原子具有明確的離散能級(jí)，沒(méi)有這種分裂。

直觀地說(shuō)，如果兩個(gè)原子足夠接近，它們的電子仍然保持在相同的能級(jí)上，這將違反泡利不相容原理，該原理指出沒(méi)有兩個(gè)電子可以占據(jù)相同的量子態(tài)。因此，能級(jí)分裂，確保每個(gè)電子都有一個(gè)獨(dú)特的量子態(tài)。

在半導(dǎo)體中，有許多能帶。例如，原子的1s軌道結(jié)合形成一個(gè)能帶，而2s和2p軌道形成其他能帶，依此類推。在這些能帶之間是被稱為禁帶（或帶隙）的間隙，電子不能存在于這些區(qū)域。能級(jí)分裂的程度和帶隙的寬度取決于材料的特性，例如其晶格結(jié)構(gòu)和電子的數(shù)量。下圖展示了能帶分裂的簡(jiǎn)化視圖。

價(jià)帶和導(dǎo)帶 

決定材料大部分電學(xué)和化學(xué)性質(zhì)的兩個(gè)最重要的能帶是價(jià)帶和導(dǎo)帶。價(jià)帶是由原子的最外層（價(jià)）電子的相互作用形成的。它代表了從單個(gè)原子的價(jià)殼層派生出的連續(xù)的能級(jí)。

然而，導(dǎo)帶并不簡(jiǎn)單地是下一個(gè)原子殼層。它是不同的。當(dāng)電子獲得足夠的能量，從而擺脫原子鍵合，能夠自由移動(dòng)時(shí)，就會(huì)發(fā)生導(dǎo)電。當(dāng)這種情況發(fā)生時(shí)，我們說(shuō)這些電子處于“導(dǎo)帶”中（畢竟，能帶只是一組能量，所以導(dǎo)帶代表那些自由電子的能量）。這里的電子是離域的，意味著它們可以在整個(gè)晶體晶格中移動(dòng)——它們不再被束縛在特定的原子上，而是作為材料整體的一部分。這與電離不同，電離是電子完全從材料中移除。

帶隙Bandgap

價(jià)帶頂部與導(dǎo)帶底部之間的能量差稱為帶隙能量，記作 Eg。在絕對(duì)零度時(shí)，所有電子占據(jù)最低可用的能量態(tài)，這意味著價(jià)帶完全被填滿，沒(méi)有導(dǎo)電性，因此也就沒(méi)有導(dǎo)帶的概念。在高于絕對(duì)零度的溫度下，熱能激發(fā)一些電子，使它們能夠擺脫束縛，我們將其描繪為電子躍過(guò)帶隙進(jìn)入導(dǎo)帶，從而使材料具有導(dǎo)電性。

我們還可以將帶隙與半導(dǎo)體的導(dǎo)電性聯(lián)系起來(lái)。那些具有較大帶隙的材料將是不良導(dǎo)體，因?yàn)殡娮有枰罅康哪芰坎拍苘S過(guò)帶隙。如果帶隙達(dá)到 4−6eV，那么材料幾乎不導(dǎo)電，這就是我們所說(shuō)的絕緣體。硅的帶隙為 1.1eV，因此它能夠?qū)щ?。在金屬中，價(jià)帶和導(dǎo)帶重疊，允許電子導(dǎo)電，因此不存在“帶隙”的概念。金屬甚至可以在 T=0K 時(shí)導(dǎo)電，而半導(dǎo)體則不能。有趣的是，在半導(dǎo)體中，更高的溫度通過(guò)激發(fā)更多電子進(jìn)入導(dǎo)帶而增加導(dǎo)電性，而在金屬中，更高的溫度由于電子散射而增加電阻率。

能帶結(jié)構(gòu)（E-k 圖）Band Structure (E-k Diagrams)

實(shí)際的能帶結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜，不像上面圖像中導(dǎo)帶和價(jià)帶是直線那樣簡(jiǎn)單。當(dāng)電子在晶體晶格中移動(dòng)時(shí)，它們?cè)诓煌较蛏蠒?huì)經(jīng)歷不同的勢(shì)，因?yàn)樵拥拈g距和排列隨方向變化（因此來(lái)自周圍原子核的“拉力”也不同）。

我們使用向量 k（也稱為波矢）來(lái)表示電子在晶體晶格中的方向和波長(zhǎng)，并沿著 k 繪制電子能量 E，以顯示電子在特定方向上移動(dòng)時(shí)能量 E 的變化。這種圖被稱為 E-k 圖。通常會(huì)顯示 k 空間中的 [100]、[110] 和 [111] 方向，因?yàn)樗鼈兇砀邔?duì)稱性路徑，能帶通常在這些路徑上有特殊特征（例如，最小值、最大值或鞍點(diǎn)）。需要注意的是，k 空間與米勒指數(shù)（用于定義晶體內(nèi)的平面）略有不同，但目的相似，即定義方向。以下是 k 空間方向的解釋：

[100]：從中心（k=0，伽馬點(diǎn)）到一個(gè)面的中心（X 點(diǎn)）。

[110]：從中心（k=0，伽馬點(diǎn)）到一條邊的中點(diǎn)（K 點(diǎn)）。

[111]：從中心（k=0，伽馬點(diǎn)）到一個(gè)角（L 點(diǎn)）。

例如，在硅中，導(dǎo)帶中電子的能量在 [100] 方向最低，在 [111] 方向最高。導(dǎo)帶最小值的確切位置取決于晶體結(jié)構(gòu)以及電子與晶格之間的相互作用。E-k 圖在 k 空間中是周期性的，因此我們通常只在第一布里淵區(qū)（一個(gè)包含所有獨(dú)特動(dòng)量態(tài)的基本區(qū)域，電子可以占據(jù)這些態(tài)而不重復(fù)）內(nèi)繪制它，以捕捉所有獨(dú)特信息。

直接帶隙與間接帶隙Direct and Indirect Bandgap

當(dāng)導(dǎo)帶最小值和價(jià)帶最大值在能帶結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)在相同的動(dòng)量（k-矢量）時(shí)，我們稱之為直接帶隙，因?yàn)檫@允許導(dǎo)帶中的電子直接與價(jià)帶中的空穴復(fù)合（通過(guò)發(fā)射光子）。這使得它們適用于光學(xué)應(yīng)用，如發(fā)光二極管（LED）和激光器。砷化鎵是一種直接帶隙材料。

在間接帶隙半導(dǎo)體中，導(dǎo)帶最小值和價(jià)帶最大值出現(xiàn)在不同的動(dòng)量（k-矢量）值。動(dòng)量的差異阻止了直接的光子發(fā)射，通常需要聲子輔助（晶格振動(dòng)）來(lái)轉(zhuǎn)換動(dòng)量。這類材料不太適用于發(fā)光或吸收活動(dòng)，但它們非常適合用于電子學(xué)，因?yàn)槁╇娏鞯停ㄒ驗(yàn)樗鼈儾粫?huì)因發(fā)光而浪費(fèi)能量）。硅是一種間接帶隙材料。有趣的是，它也被用于太陽(yáng)能電池，盡管我們已經(jīng)確定它在吸收光方面效率不高，但我們使用它是因?yàn)樗鼉r(jià)格低廉，其晶片可以制造得非常純凈，即缺陷較少，這彌補(bǔ)了其在光吸收方面的低效。

以上有助于我們了解能帶和間隙是如何形成的，后續(xù)講解如何計(jì)算半導(dǎo)體中有助于其導(dǎo)電性的“自由電子”的數(shù)量。