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載流子，通俗來講就是電流的載體，是一種可以自由移動的帶有電荷的微粒，它們承載著電能“傳遞”的任務，這些微粒在電場作用下“漂移”，從而形成電流。在不同的材料中，載流子以不同的形式存在：導體（如金屬）中，主要的載流子是自由電子；半導體中，除了自由電子，帶正電的“空穴”也是一種載流子；而對于電解液，溶液中的正、負離子都是載流子。

載流子濃度Concentration of carrier

導帶中電子的濃度（按能量計）由允許的量子態(tài)的密度乘以一個態(tài)被電子占據(jù)的概率給出。

這個用方程表示為：

其中 n(E) 是在能量 E 處的濃度。然后通過在整個導帶能量范圍內(nèi)對上述方程進行積分，可以得到單位體積內(nèi)導帶中的總電子濃度：

將上述方程中的 gc(E) 和 f(E) 代入并求解積分，結(jié)果為：

同樣，空穴濃度可以表示為：

其中 Nc 和 Nv 是“有效”的態(tài)密度，分別表示導帶和價帶中可用于占據(jù)的總態(tài)數(shù)。記住，態(tài)密度是能量的函數(shù)，而有效態(tài)密度是一個單一值，近似表示整個能帶中可用態(tài)的總數(shù)。

我們看到，導帶中電子的熱平衡濃度和價帶中空穴的熱平衡濃度直接與有效態(tài)密度常數(shù)和費米能級有關(guān)。

本征載流子濃度The Intrinsic Carrier Concentration

對于本征半導體，導帶中電子的濃度 (ni) 等于價帶中空穴的濃度 (pi)。表達式為

這表明本征載流子濃度直接與態(tài)密度有關(guān)，并且與帶隙和溫度呈指數(shù)關(guān)系。它還表明，在 T=0K 時，不存在本征載流子，即沒有自由電子用于傳導。這是因為電子被限制在共價鍵中，沒有熱能將它們分離出來。

對于硅在 T=300K（室溫）時，自由電子的密度為：

ni(@300K)=1.08×1010 electrons/cm3

這個數(shù)字看起來很大，但請注意，硅有 5×1022 個原子/cm³，這意味著在室溫下，每 5×1012 個原子中只有一個原子有自由電子。因此，硅在其本征狀態(tài)下并沒有多大用處！這就是為什么我們要對其進行摻雜。

還請注意，由于本征電子和空穴濃度相等，費米能級位于帶隙中間，如下面的圖所示。

這基本上意味著，如果電子占據(jù)了導帶中 EF 以上某處的 10 個態(tài)，那么在價帶中 EF 以下某處也會恰好有 10 個態(tài)被清空（因為這就是它們的來源?。１菊髻M米能級通常用 EFi 表示。

載流子的產(chǎn)生和復合

在本征載流子濃度的推導中，一個關(guān)鍵的細微之處是它假設了熱平衡——即載流子濃度隨時間保持不變。但這怎么可能呢？我們已經(jīng)確定，由于隨機的熱過程，電子會不斷地從價帶熱激發(fā)到導帶。如果這種產(chǎn)生過程不受控制地持續(xù)發(fā)生，電子會在導帶中積累，空穴會在價帶中積累，使系統(tǒng)失去平衡。

那么，平衡是如何維持的呢？

是通過詳細平衡原理，該原理指出，每一個過程（如產(chǎn)生）都有其逆過程（復合）來平衡。電子具有很高的瞬時熱速度，導致它們在晶體中隨機移動。在移動過程中，電子可能會靠近一個缺少電子的原子（一個空穴），并由于局部電荷失衡而經(jīng)歷更強的庫侖吸引。這種相互作用將電子拉向原子核，降低其勢能，并使其從高能的導帶躍遷到低能的價帶——有效地“填補”了空穴。

這個過程，即電子消滅空穴并進入更穩(wěn)定的配置，就是我們所觀察到的復合。復合過程中釋放的能量在直接帶隙材料中以光的形式發(fā)射，在間接帶隙材料中以熱的形式發(fā)射，通過向低能態(tài)移動來穩(wěn)定系統(tǒng)。

量子力學通過強調(diào)復合不是一種逐漸的、經(jīng)典的“下落”，而是以概率來描述，從而完善了這一圖景。由于電子位置的固有不確定性，我們用概率分布來描述它的位置。當電子和空穴在同一區(qū)域出現(xiàn)的概率很高時，電子有效地“啪”地一聲進入空穴，完成復合過程。

為了使系統(tǒng)保持平衡，凈載流子濃度必須隨時間保持不變。這要求電子-空穴對的產(chǎn)生速率恰好等于復合速率。

摻雜Doping

為了提高硅的導電性，我們引入了稱為摻雜劑的受控雜質(zhì)，將硅晶體轉(zhuǎn)變?yōu)樗^的外延半導體。例如，添加像磷這樣的第 V 族元素，它有五個價電子，會改變載流子的動力學。其中四個電子與相鄰的硅原子形成共價鍵，留下第五個電子與磷原子的結(jié)合更為松散。

在極低溫度下，這個額外的電子仍然與磷原子結(jié)合。然而，將其釋放并提升到導帶所需的能量，與激發(fā)硅的共價鍵中的電子所需的能量相比要少得多。即使少量的熱能也足以釋放施主電子，留下一個帶正電的磷離子。

這一過程增加了自由電子的濃度，而空穴濃度則降低，因為新釋放的電子傾向于與本征硅中存在的空穴復合。由于電子的數(shù)量超過了空穴，它們被稱為多數(shù)載流子，而空穴則成為少數(shù)載流子。這種材料被稱為 n 型。

電子濃度的增加意味著導帶態(tài)被占據(jù)的概率更高，這導致費米能級 EF 向?qū)Х较蛏弦?。相反，?p 型材料中，EF 向價帶方向下移，表明價帶態(tài)的占據(jù)率更高。

n 型與 p 型半導體的不同費米能級表明載流子濃度已從本征載流子濃度發(fā)生偏移。

Q：為什么 np=ni2 仍然成立？ 

A：當我們對半導體進行摻雜時，電子-空穴對的產(chǎn)生率保持不變，因為它主要取決于帶隙 Eg 和溫度 T，而這兩者都不受摻雜的影響。然而，摻雜增加了復合率，因為有更多的自由載流子（無論是電子還是空穴）可用。n 的增加和 p 的減少保持了乘積 np 等于 ni2。這是處于熱平衡狀態(tài)的半導體的一個基本原理。我們可以將本征濃度 ni 簡單地視為半導體材料的一個參數(shù)。

載流子濃度與溫度的關(guān)系Carrier Concentration vs Temperature

我們已經(jīng)看到，本征載流子濃度 ni 是溫度的強函數(shù)。隨著溫度的升高，會熱激發(fā)產(chǎn)生額外的電子-空穴對。在某個點上，熱激發(fā)產(chǎn)生的載流子數(shù)量可能會超過施主原子貢獻的電子數(shù)量，導致半導體失去其外延特性，從而變得不適用于實際應用。

另一方面，在低溫下，施主原子緊密地束縛著它們的電子，阻止它們躍遷到導帶。在這種情況下，施主原子只有部分電離，這意味著并非所有的施主原子都貢獻了自由電子。在 T=0K 時，施主原子完全不電離，這種狀態(tài)被稱為凍結(jié)。在這種情況下，半導體再次失去了其外延特性，因為施主原子不再提供自由載流子。

下面這兩張圖，左邊展示了硅的費米能級與摻雜濃度和溫度的關(guān)系，右邊展示了N型硅和鍺的電子濃度與溫度的關(guān)系曲線。在低溫段，載流子激發(fā)很少，費米能級高于雜質(zhì)能級；在常溫段，費米能級下降，低于雜質(zhì)能級；在高溫段，本征載流子激發(fā)增強，費米能級靠近本征費米能級，此時摻雜基本失效了。從右邊這張圖可以看到，對于硅，在低溫時，電子濃度隨著溫度的升高而增加，因為此時雜質(zhì)在逐漸電離。溫度升高到100K時，雜質(zhì)全部電離，此時電子濃度基本保持不變，而當溫度高于500K時，本征激發(fā)開始起主要作用，此時摻雜就失效了，器件也就沒用了。顯然，雜質(zhì)濃度越高，達到本征激發(fā)起主要作用的溫度也就越高。對于鍺來說，它的禁帶寬度更小，所以在常溫下，也很難阻止它的本征激發(fā)，所以鍺材料并沒有被廣泛使用，但鍺+其他材料（eg. SiGe 被廣泛使用）。

溫度工作范圍圖（右圖）表明，在極低和極高溫度下，本征載流子濃度占主導地位。

Reference:

1.Semiconductor Physics And Devices: Basic Principles by Donald A. Neamen

2.Semiconductor Devices: Physics and Technology by Simon M. Sze and Ming-Kwei Lee